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Fiche méthode 06 – Signe d ’une fonction – Comparaison de fonctions

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Academic year: 2022

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FM 06 : Signe dune fonction – Comparaison de fonctions

1/2 Seconde – Lycée Desfontaines – Melle

Fiche méthode 06 – Signe d ’ une fonction – Comparaison de fonctions

I. Signe d’une fonction

Définitions :

Etudier le signe d’une fonction f consiste à étudier le signe de son expression algébrique f(x) en fonction des valeurs de x, pour x appartenant à l’ensemble de définition de f.

Interprétation graphique :

Soit C la courbe représentative d’une fonction f.

• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I de D

f, f(x) est strictement positif revient à dire que C

f est strictement au dessus de l’axe des abscisses pour tout x appartenant à I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f(x)>0 sont les abscisses des points de C

f situés strictement au dessus de l’axe des abscisses.

• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I de Df, f(x) est strictement négatif revient à dire que Cf est strictement en dessous de l’axe des abscisses pour tout x appartenant à I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f(x)<0 sont les abscisses des points de Cf situés strictement en dessous de l’axe des abscisses.

• Dire que f(a)=0 (avec a☻Df) revient à dire que Cf coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse a. Autrement dit, les solutions de l’équation f(x)=0 sont les abscisses des points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses.

II. Comparaison de fonctions

1. Définition Définition :

Comparer deux fonctions f et g, c’est comparer f(x) et g(x) en fonction des valeurs de x, pour x appartenant à Df∩Dg, c'est-à-dire, c’est déterminer les valeurs de x pour lesquelles f(x)>g(x), les valeurs de x pour lesquelles f(x)<g(x) et les valeurs de x pour lesquelles f(x)=g(x).

Méthode :

Pour comparer deux fonctions f et g, on peut étudier le signe de f−g, càd le signe de f(x)−g(x) pour x appartenant à Df∩Dg. En effet,

 

f(x)−g(x)>0ñf(x)>g(x)

f(x)−g(x)<0ñf(x)<g(x) f(x)−g(x)=0ñf(x)=g(x) 2. Interprétation graphique

Soient Cf et Cg les courbes représentatives de deux fonctions f et g.

• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I (inclus dans Df∩Dg), f(x)>g(x) revient à dire que Cf est strictement au dessus de Cg pour tout x de I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f(x)>g(x) sont les abscisses des points de Cf situés strictement au dessus de Cg.

• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I (inclus dans Df∩Dg), f(x)<g(x) revient à dire que Cf est strictement en dessous de Cg pour tout x de I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f(x)<g(x) sont les abscisses des points de Cf situés strictement en dessous de Cg.

• Dire que f(a)=g(a) (a appartenant à Df∩Dg) revient à dire que Cf coupe Cg au point d’abscisse a. Autrement dit, les solutions de l’équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection de Cf et Cg.

3. Comparaison à un réel Définition :

Comparer une fonction f à un réel m, consiste à déterminer les valeurs de x pour lesquelles f(x)>m, les valeurs de x pour lesquelles f(x)<m et les valeurs de x pour lesquelles f(x)=m.

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FM 06 : Signe dune fonction – Comparaison de fonctions

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Méthode :

Pour comparer deux fonctions f à un réel m, on peut étudier le signe de f−m, càd le signe de f(x)−m pour x appartenant à Df. En effet,

 

f(x)−m>0ñf(x)>m

f(x)−m<0ñf(x)<m f(x)−m=0ñf(x)=m Interprétation graphique :

Soient Cf la courbe représentative d’une fonction f.

• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I (inclus dans Df), f(x)>m revient à dire que Cf est strictement au dessus de la droite d’équation y=m pour tout x de I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f(x)>m sont les abscisses des points de Cf situés strictement au dessus de la droite d’équation y=m.

• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I (inclus dans Df), f(x)<m revient à dire que Cf est strictement en dessous de la droite d’équation y=m pour tout x de I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f(x)<m sont les abscisses des points de Cf situés strictement en dessous de la droite d’équation y=m.

• Dire que f(a)=m (a appartenant à Df) revient à dire que Cf coupe la droite d’équation y=m au point d’abscisse a.

Autrement dit, les solutions de l’équation f(x)=m sont les abscisses des points d’intersection de Cf avec la droite d’équation y=m.

III. Exercices

Le plan est muni d’un repère (O,I,J) Exercice 1

Soit f la fonction définie par f(x)=2x+3 5−x . 1- Déterminer l’ensemble de définition de f.

2- Etudier le signe de f.

3- Interpréter graphiquement.

Exercice 2

On donne la courbe représentative d’une fonction g. Avec la précision permise par le graphique :

1. Déterminer l’ensemble de définition D

g de g.

2. Déterminer le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.

3. Déterminer le signe de g(x) en fonction des valeurs de x.

4. Résoudre : g(x)=2 ; g(x)Ã3 ; g(x)<-2.

Exercice 3

Soient f et g les fonctions définies sur Ë par f(x)=(x+1)2−9 et g(x)=(x−2)(2x+1).

Déterminer le signe de f(x)−g(x) sur Ë. En déduire la position relative de Cf par rapport à Cg. Exercice 4

On donne ci-contre les courbes représentatives de deux fonctions f et g définies sur [-3;6].

Résoudre à l’aide du graphique f(x)=g(x) et f(x)>g(x).

Exercice 5

Soit f la fonction définie par f(x)=2x−1 3−x .

1. Déterminer le domaine de définition Df de f.

2. Etudier le signe de f(x)−2 pour x appartenant à Df. En déduire la position de Cf par rapport à la droite d’équation y=2.

Exercice 6 : Soient f et g les fonctions définies sur Ë par f(x)=x2−4x+4 et g(x)=(x−2)(2x+3).

1. Etudier le signe de f(x) puis de g(x) en fonction des valeurs de x. en déduire la position relative de Cf puis de Cg par rapport à l’axe des abscisses.

2. Etudier le signe de f(x)−4 en fonction des valeurs de x. En déduire la position de Cf par rapport à la droite d’équation y=4.

3. Etudier le signe de f(x)−g(x) en fonction des valeurs de x. En déduire la position de Cf par rapport à Cg.

4.

Soit h la fonction définie sur Ë par h(x)=-4x+29 et soit D sa courbe représentative. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de Cf et de D.

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