FM 06 : Signe d’une fonction – Comparaison de fonctions
1/2 Seconde – Lycée Desfontaines – Melle
Fiche méthode 06 – Signe d ’ une fonction – Comparaison de fonctions
I. Signe d’une fonction
Définitions :
Etudier le signe d’une fonction f consiste à étudier le signe de son expression algébrique f(x) en fonction des valeurs de x, pour x appartenant à l’ensemble de définition de f.
Interprétation graphique :
Soit C la courbe représentative d’une fonction f.
• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I de D
f, f(x) est strictement positif revient à dire que C
f est strictement au dessus de l’axe des abscisses pour tout x appartenant à I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f(x)>0 sont les abscisses des points de C
f situés strictement au dessus de l’axe des abscisses.
• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I de Df, f(x) est strictement négatif revient à dire que Cf est strictement en dessous de l’axe des abscisses pour tout x appartenant à I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f(x)<0 sont les abscisses des points de Cf situés strictement en dessous de l’axe des abscisses.
• Dire que f(a)=0 (avec a☻Df) revient à dire que Cf coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse a. Autrement dit, les solutions de l’équation f(x)=0 sont les abscisses des points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses.
II. Comparaison de fonctions
1. Définition Définition :
Comparer deux fonctions f et g, c’est comparer f(x) et g(x) en fonction des valeurs de x, pour x appartenant à Df∩Dg, c'est-à-dire, c’est déterminer les valeurs de x pour lesquelles f(x)>g(x), les valeurs de x pour lesquelles f(x)<g(x) et les valeurs de x pour lesquelles f(x)=g(x).
Méthode :
Pour comparer deux fonctions f et g, on peut étudier le signe de f−g, càd le signe de f(x)−g(x) pour x appartenant à Df∩Dg. En effet,
f(x)−g(x)>0ñf(x)>g(x)f(x)−g(x)<0ñf(x)<g(x) f(x)−g(x)=0ñf(x)=g(x) 2. Interprétation graphique
Soient Cf et Cg les courbes représentatives de deux fonctions f et g.
• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I (inclus dans Df∩Dg), f(x)>g(x) revient à dire que Cf est strictement au dessus de Cg pour tout x de I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f(x)>g(x) sont les abscisses des points de Cf situés strictement au dessus de Cg.
• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I (inclus dans Df∩Dg), f(x)<g(x) revient à dire que Cf est strictement en dessous de Cg pour tout x de I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f(x)<g(x) sont les abscisses des points de Cf situés strictement en dessous de Cg.
• Dire que f(a)=g(a) (a appartenant à Df∩Dg) revient à dire que Cf coupe Cg au point d’abscisse a. Autrement dit, les solutions de l’équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection de Cf et Cg.
3. Comparaison à un réel Définition :
Comparer une fonction f à un réel m, consiste à déterminer les valeurs de x pour lesquelles f(x)>m, les valeurs de x pour lesquelles f(x)<m et les valeurs de x pour lesquelles f(x)=m.
FM 06 : Signe d’une fonction – Comparaison de fonctions
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Méthode :
Pour comparer deux fonctions f à un réel m, on peut étudier le signe de f−m, càd le signe de f(x)−m pour x appartenant à Df. En effet,
f(x)−m>0ñf(x)>mf(x)−m<0ñf(x)<m f(x)−m=0ñf(x)=m Interprétation graphique :
Soient Cf la courbe représentative d’une fonction f.
• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I (inclus dans Df), f(x)>m revient à dire que Cf est strictement au dessus de la droite d’équation y=m pour tout x de I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f(x)>m sont les abscisses des points de Cf situés strictement au dessus de la droite d’équation y=m.
• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I (inclus dans Df), f(x)<m revient à dire que Cf est strictement en dessous de la droite d’équation y=m pour tout x de I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f(x)<m sont les abscisses des points de Cf situés strictement en dessous de la droite d’équation y=m.
• Dire que f(a)=m (a appartenant à Df) revient à dire que Cf coupe la droite d’équation y=m au point d’abscisse a.
Autrement dit, les solutions de l’équation f(x)=m sont les abscisses des points d’intersection de Cf avec la droite d’équation y=m.
III. Exercices
Le plan est muni d’un repère (O,I,J) Exercice 1Soit f la fonction définie par f(x)=2x+3 5−x . 1- Déterminer l’ensemble de définition de f.
2- Etudier le signe de f.
3- Interpréter graphiquement.
Exercice 2
On donne la courbe représentative d’une fonction g. Avec la précision permise par le graphique :
1. Déterminer l’ensemble de définition D
g de g.
2. Déterminer le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.
3. Déterminer le signe de g(x) en fonction des valeurs de x.
4. Résoudre : g(x)=2 ; g(x)Ã3 ; g(x)<-2.
Exercice 3
Soient f et g les fonctions définies sur Ë par f(x)=(x+1)2−9 et g(x)=(x−2)(2x+1).
Déterminer le signe de f(x)−g(x) sur Ë. En déduire la position relative de Cf par rapport à Cg. Exercice 4
On donne ci-contre les courbes représentatives de deux fonctions f et g définies sur [-3;6].
Résoudre à l’aide du graphique f(x)=g(x) et f(x)>g(x).
Exercice 5
Soit f la fonction définie par f(x)=2x−1 3−x .
1. Déterminer le domaine de définition Df de f.
2. Etudier le signe de f(x)−2 pour x appartenant à Df. En déduire la position de Cf par rapport à la droite d’équation y=2.
Exercice 6 : Soient f et g les fonctions définies sur Ë par f(x)=x2−4x+4 et g(x)=(x−2)(2x+3).
1. Etudier le signe de f(x) puis de g(x) en fonction des valeurs de x. en déduire la position relative de Cf puis de Cg par rapport à l’axe des abscisses.
2. Etudier le signe de f(x)−4 en fonction des valeurs de x. En déduire la position de Cf par rapport à la droite d’équation y=4.
3. Etudier le signe de f(x)−g(x) en fonction des valeurs de x. En déduire la position de Cf par rapport à Cg.