Seconde 8 DS9 : Correction 30 mai 2017 Exercice 1 : ´Equations-In´equations (10 minutes)
R´esoudre surR:
1. x2+x >0 2. 3x 5
2x+ 3 >0
Solution:
1. S=] 1; 1[[]0; +1[ 2. S=]32;53] Exercice 2 : Fonctions de r´ef´erence (10 minutes)
On se donne 3 fonctions f, g et h repr´esent´ees graphiquement ci-contre
1. Donner un nom `a chaque fonctionf, g eth.
2. D´eterminer une expression alg´ebrique pour chaque fonc- tions ( Mˆeme si vous n’arrivez pas
`
a ´ecrire enti`erement l’expression, dites-tout ce que vous savez).
5. 4. 3. 2. 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
5.
4.
3.
2.
1.
1.
2.
3.
4.
5.
0 Cf
Cf
Cg
Ch
Solution:
f est une fonction homographique,g est une fonction polynˆome du second degr´e ethest une fonction affine.
On conjecture quef(x) = 1 + 1
x 2,g(x) = 2(x+ 1)2 3 eth(x) =25x+ 1.
Exercice 3 : Trigonom´etrie (10 minutes) 1. Compl´eter le tableau ci-dessous :
x ⇡2 ⇡6 3⇡4 4⇡3 5⇡
cos(x) sin(x)
2. R´esoudre dans [0; 2⇡[ sin(x) =p23 Solution:
1. a. PourA: ⇡6. PourB : ⇡4. PourC: ⇡3.
b.
D
O
C B
A F
H
G
E
c. Compl´eter le tableau ci-dessous :
x ⇡2 ⇡6 3⇡4 4⇡3 5⇡
cos(x) 0 p23 p22 12 1
sin(x) 1 12 p22 p23 0
2. S={⇡3;2⇡3}
Exercice 4 : Algorithme (10 minutes)
L’entreprise PiscinePlus, implant´ee dans le sud de la France, propose des contrats annuels d’entretien aux propri´etaires de piscines priv´ees.
Seconde 8 DS8 : Correction Page 2 sur 4 Le patron de cette entreprise remarque que, chaque ann´ee, 12 % de contrats suppl´ementaires sont souscrits et 6 contrats r´esili´es. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels `a venir.
En 2015, l’entreprise PiscinePlus d´enombrait 75 contrats souscrits.
1. a. Montrer que le nombre de contrats en 2016 est 78 b. Estimer le nombre de contrats d’entretien en 2017.
2. L’entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de 100 contrats avec son nombre actuel de salari´es.
Au-del`a, l’entreprise devra embaucher davantage de personnel.
On cherche `a connaˆıtre en quelle ann´ee l’entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l’algorithme suivant : L1 Variables : nest un nombre entier naturel
L2 U est un nombre r´eel
L3 Traitement : A↵ecter `a nla valeur 0 L4 A↵ecter `aU la valeur 75
L5 Tant queU 6100 faire
L6 nprend la valeur n+ 1
L7 U prend la valeur 1,12U 6
L8 Fin Tant que
L9 Sortie : Afficher . . . a. Compl´eter la ligne L9.
b. Compl´eter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que n´ecessaire pour permettre la r´ealisation de l’algorithme ci-dessus. On arrondira les r´esultats `a l’unit´e.
Valeur de n 0 Valeur deU 75
c. Donner la valeur affich´ee `a la fin de l’ex´ecution de cet algorithme puis interpr´eter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
Solution:
1. a. Le nombre de contrats en 2016 est 75⇥1,12 6 = 78.
b. En 2017, il sera de 78⇥1,12 6⇡81, il y aura 81 contrats en 2017.
2. a. En ligne L9, il faut ´ecrireAfficher n
b. Valeur den 0 1 2 3 4 5 6 7
Valeur de U 75 78 81 85 89 94 99 105 c. La valeur affich´ee est 7. Il faut attendre 7 ans pour avoir plus de 100 contrats.
Exercice 5 : G´eom´etrie dans l’espace (15 minutes)
On consid`ere un t´etra`edreABCDet les pointsI,J, etKtels que :I2 [AB] etAI= 13AB, J 2[AD] etAJ =13AD,K2[BC] etCK =13CB.
1. D´emontrer que (IJ) et (BD) sont parall`eles.
SoitLl’intersection du plan (IJK) et de (CD).
2. `A l’aide du th´eor`eme du toit, d´eduire de la question 1 les positions relatives de (KL) et (BD).
3. En d´eduire queL2[CD] etCL= 13CD.
A
B
C D I
J
K
Solution:
1. On se place dans le plan (ABD). Dans le triangle ABD, I 2 [AB] tel que AI = 13AB et J 2 [AD] tel queAJ = 13ADdonc, d’apr`es la r´eciproque du th´eor`eme de Thal`es, les droites (IJ) et (BD) sont parall`eles.
2. Les deux droites (IJ) et (BD) sont parall`eles, le plan (IJK) contient la droite (IJ), le plan (BCD) contient la droite (BD) et ces deux plans sont s´ecants selon une droite passant par le point K alors (d’apr`es le th´eor`eme du toit), l’intersection des deux plans (IJK) et (BCD) est la droite parall`ele aux droites (IJ) et (BD), passant par le pointK.
3. On se place dans le plan (BCD). Dans le triangle BCD, K 2 [BC] tel que CK = 13CB et la droite passant parK est parall`ele `a (BD) donc, d’apr`es le th´eor`eme de Thal`es, elle coupe [CD] en un pointLtel queCL= 13CD.
Exercice 6 : Probl`eme avec des fonctions (35 minutes) On d´efinit la fonctionf parf(x) = 10x+ 1840
x+ 4 etg la fonction d´efinie parg(x) = 2x2+ 16x+ 22.
Seconde 8 DS8 : Correction Page 3 sur 4 La courbe deg repr´esent´ee sur l’intervalle [0; 10] est donn´ee en annexe.
Partie A : ´Etude math´ematique
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition def surR
2. Calculer en ´ecrivant les ´etapes de calcul l’image de 3 parf et parg, puis l’image de 2/7 parf et parg.
3. Compl´eter le tableau de valeurs ci-dessous avec les images def (On arrondira `a l’unit´e)
x 0 1 1,5 2 3 5 7 9 10
f(x)
4. `A l’aide du tableau construire la courbe pr´ecise de la fonctionf sur le rep`ere de l’annexe.
5. R´esoudre graphiquement sur [0; 10] les ´equations suivantes (Les traits de constructions seront visibles) : a. f(x)<300 b. g(x) = 100 c. f(x) =g(x) d. f(x)> g(x) 6. R´esoudre alg´ebriquement surR:f(x)<300
7. a. Montrer queg(x) = 2(x+ 4)2 10.
b. En d´eduire le tableau des variations degsur R.
c. Justifier queg est strictement croissante sur ] 4; +1[.
d. D´eterminer l’ensemble des solutions surRde l’´equationg(x) = 100.
Solution: Partie A : ´Etude math´ematique 1. f(3) = 10⇥3 + 1840
3 + 4 =1870 7 f 27 = 10⇥27+ 1840
2
7+ 4 =
20+12880 7 2+28
7
= 12900 30 = 430
g(3) = 2⇥9 + 16⇥3 + 22 = 88
g 27 = 2⇥494 + 16⇥27+ 22 =8+224+107849 = 131049
2. x 0 1 1,5 2 3 5 7 9 10
f(x) 460 370 337 310 267 210 174 148 139
3. Voir votre calculatrice
4. a. S=]2,4; 10] b. S ={3,5} c. S={6} d. S= [0; 6]
5. 10x+ 1840
x+ 4 <300, 10x+ 1840 300(x+ 4)
x+ 4 <0, 290x+ 640 x+ 4 <0 Avec un tableau de signes, on aS =] 1; 4[[]6429; +1]
6. a. 2x2+ 16x= 2(x+ 4)2 32 doncg(x) = 2(x+ 4)2 32 + 22 = 2(x+ 4)2 10 b. g(x) = 100 , 2(x+ 4)2 10 = 100 , 2(x+ 4)2 110 = 0 , 2(x+ 4 p
55)(x+ 4 +p
55) = 0.
S= 4 +p 55; p
55 4 Partie B : Mod´elisation
On ´etudie l’´evolution d’une maladie dans une population apr`es avoir lanc´e une campagne de vaccination et ce pendant 10 semaines.
La fonction f mod´elise le nombre de personnes malades (en milliers) en fonction du temps (x en semaines) et la fonctiong repr´esente le nombre de personnes (en milliers) qui ont accept´e d’ˆetre vaccin´ees en fonction du temps (x en semaines).
Exemples :
— f(2) = 310 signifie qu’au bout de 2 semaines, il y a 310000 malades.
— g(2) = 62 signifie qu’au bout de 2 semaines, il y a 62000 personnes qui ont accept´e d’ˆetre vaccin´ees.
1. Interpr´eter les valeurs des images parf et gobtenues dans la partieApour x= 3 etx=27.
2. Combien y-a-t-il de malades dans la population au moment o`u la campagne de vaccinations est lanc´ee ? 3. Les variations des fonctionsf etg sont-elles coh´erentes avec le mod`ele ?
4. Pour les questions suivantes, on justifiera `a l’aide de la partie A et on donnera une r´eponse pr´ecise au jour pr`es.
a. `A partir de quel moment le nombre de personnes vaccin´ees d´epasse les 100 000 ? b. `A partir de quel moment le nombre de personnes malades est inf´erieur `a 300 000 ?
c. `A partir de quel moment le nombre de personnes vaccin´ees d´epasse le nombre de personnes malades ? 5. La campagne de vaccination est consid´er´ee comme un succ`es si le nombre de malades est trois fois plus petit
que le nombre de vaccin´es. Au bout de 10 semaines, peut-on consid´erer que la campagne de vaccination est un succ`es ?
Seconde 8 DS8 : Correction Page 4 sur 4 Solution: Partie B : Mod´elisation
1. Au bout de 3 semaines il y a environ 267142 malades et 88000 vaccin´es.
Au bout de 2 jours, il y a 430000 malades et environ 26745 vaccin´es 2. f(0) = 460, il y avait 460000 malades quand la campagne a commenc´ee.
3. Plus il y a de vaccin´es moins il y a de malades, ce qui est coh´erent avec le fait quef est d´ecroissante etg est croissante.
4. a. On a vu que pourx2[0; 10],g(x) = 100,x=p
55 4⇡3,4. Il faut donc 3,4 semaines pour d´epasser les 100000 vaccin´ees. En multipliant par 7, on trouve 24 jours.
b. Sur [0; 10],f(x)<300 lorsque x > 6429. En multipliant par 7, on en d´eduit qu’il faut 16 jours pour avoir moins de 300000 malades.
c. f(x)< g(x) lorsquex >6, il faut donc 42 jours.
5. f(10) = 9707 et g(10) = 382. f(10)⇥3⇡415. Donc le nombre de malade n’est pas trois plus petit que le nombre de vaccin´es. Ce n’est donc pas un succ`es au bout de 10 jours.
