I- Signe et variations d une fonction

Chapitre 13: signe et variations d’une fonction – applications aux fonction affines

I- Signe et variations d’une fonction

1.Tableau de signe d’une fonction A partir d’un exemple :

Soit 𝑓 une fonction définie sur [−4 ; 4] dont la courbe est représentée ci-dessous :

1. Calculer 𝑓(−1). 𝑓(−1) = 1

2. Donner les antécédents de -1. -1 a pour antécédents -3 et 2.

3. Résoudre graphiquement l’équation 𝑓(𝑥) = 0.

Les solutions sont les réels −2 𝑒𝑡 1. 𝑆 = {−2 ; 1}

4. Résoudre graphiquement l’inéquation 𝑓(𝑥) > 0

Les solutions sont les réels de l’intervalle ]-2 ;1[ 𝑆 =] − 2 ; 1[

5. Résoudre graphiquement l’inéquation 𝑓(𝑥) < 0.

Les solutions sont les réels de l’intervalle [−4 ; −2 [ ou ]1 ; 4] 𝑆 = [−4 ; −2[∪]1 ; 4]

On vient en fait de déterminer les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 est positive ou négative.

On a étudié

le signe de 𝒇.

On peut représenter ces informations dans un tableau dont la 1^ère ligne indiquera les valeurs clés de 𝑥 et la deuxième le signe (+ , 0 ou -) de la fonction.

Ce tableau s’appellera naturellement le

tableau de signe de 𝒇.

𝑥 -4 -2 1 4 𝑓(𝑥) - 0 + 0 -

Chapitre 13 variations de fonctions

Exercice :

1.Par lecture graphique , compléter le tableau de signe des fonctions représentées graphiquement ci-dessous : a) b)

𝑥 -4 -3 4 5 𝑥 -6 -4,5 -2,5 4,5 6 𝑓(𝑥) - 0 + 0 - 𝑓(𝑥) + 0 - 0 + 0 -

f est strictement positive sur ]-3 ;4[ f est strictement positive sur [-6 ;-4,5[ ou sur ]-2,5 ;-4,5[

f est strictement négative sur [-4 ;-3[ ou sur ]4 ;5] f est strictement négative sur ]-4,5 ;-2,5[ ou sur ]4,5 ;6[

f s’annule en -3 et 4 f s’annule en -4,5 , -2,5 et 4,5

2.On dispose du tableau de signe ci-dessous , représenter ci-dessous une courbe susceptible de représenter 𝑓.

𝑥 -5 -3 -1 2 5 𝑓(𝑥) + 0 - 0 + 0 +

2.Variations d’une fonction

Vidéo : mathssa.fr/variation (jusqu’à 9mns10s) A partir d’un exemple

On a représenté ci-dessous dans un repère la fonction

f

définie par 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 𝑥².

Pour des valeurs croissantes choisies pour

x

dans l’intervalle [0 ; 2,5], les valeurs de

f

sont également croissantes.

Par exemple : 1 < 2 et

f

(1) <

f

(2).

Pour des valeurs croissantes choisies pour

x

dans l’intervalle [2,5 ; 5], les valeurs de

f

sont décroissantes.

Par exemple : 3 < 4 et

f

(3) >

f

(4).

On dit que la fonction

f

est croissante sur l’intervalle [0 ; 2,5] et décroissante sur l’intervalle [2,5 ; 5].

Remarque :

- Intuitivement, on dit qu’une fonction est croissante lorsqu’en parcourant la courbe de la gauche vers la droite, on « monte ».

- On dit qu’une fonction est décroissante lorsqu’en parcourant la courbe de la gauche vers la droite, on

« descend ».

Définitions :

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle I.

- Dire que

f

est croissante sur I signifie que pour tous réels

a

et

b

de I : si

a

<

b

alors 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑏).

- Dire que

f

est décroissante sur I signifie que pour tous réels

a

et

b

de I : si

a

<

b

alors 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑏).

- Dire que

f

est constante sur I signifie que pour tous réels

a

et

b

de I : 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏).

- Dire que

f

est monotone sur I signifie que

f

est soit croissante sur I, soit décroissante sur I.

Chapitre 13 variations de fonctions

Remarques :

- On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre.

- On dit qu’une fonction décroissante renverse l’ordre.

- Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I.

Exercice : Déterminer les variations d’une fonction pour les spé maths

mathssa.fr/variationspe1(7mns16s) et mathssa.fr/variationspe2 (12mns32s)

3.Tableau de variations d’une fonction

Vidéo : mathssa.fr/variation (15mns20s- 20mns10s)

Un

tableau de variations

résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone. Il est composé de deux lignes. Dans la 1^ère , on indique les valeurs importantes de 𝑥 dans l’ordre croissant. Dans la 2^ème, on indique d’une flèche oblique (montante ou descendante) les variations de la fonction 𝑓 ainsi que les images des valeurs importantes de 𝑥.

Exemple :

On reprend la fonction

f

définie dans l’exemple du paragraphe 1.

La fonction

f

est croissante sur l’intervalle [0 ; 2,5] et décroissante sur l’intervalle [2,5 ; 5].

f

(0) = 0

f

(2,5) = 6,25

f

(5) = 0

4.Maximum-minimum d’une fonction Exemple :

On reprend la fonction

f

définie dans l’exemple du paragraphe 2.

Pour tout nombre réel

x

de l’intervalle [0 ; 5], on a :

𝑓

(

𝑥

) ≤ 𝑓(2,5).

𝑓(2,5) = 6,25 est la plus grande image prise par la fonction

f

.

On dira que 𝑓 admet un maximum en 𝑥 = 2,5 de valeur 𝑓(2,5) = 6,25.

Définitions :

Soit

f

une fonction de l’intervalle I.

a

et

b

deux nombres réels de I.

- Dire que

f

admet un maximum sur 𝐼 en 𝑥 =

𝑎

de valeur 𝑓(𝑎) signifie que pour tout nombre réel

x

de l’intervalle I, 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑎).

- Dire que

f

admet un minimum 𝐼 en 𝑥 =

𝑏

de valeur 𝑓(𝑏) signifie que pour tout nombre réel

x

de l’intervalle I, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑏).

- Dire que

f

admet un extremum signifie que 𝑓 admet soit un maximum soit un minimum.

Remarques :

• le maximum d’une fonction est la plus grande image prise par la fonction

• le minimum d’une fonction est la plus petite image prise par la fonction

x

0 2,5 5

f

(

x

)

6,25

0 0

Chapitre 13 variations de fonctions

Exemple :

𝑓 admet un maximum en 𝑥 = 4 de valeur 𝑓(4) = 6.

𝑓 admet un minimum en 𝑥 = 1 de valeur 𝑓(1) = −2.

5.Exercice type :

Méthode : Déterminer graphiquement les variations d’une fonction et dresser un tableau de variations Vidéo : mathssa.fr/variation2 (7mns51s)

Exercice corrigé :

On considère la représentation graphique la fonction

f

:

1) Donner son ensemble de définition.

2) Donner les variations de la fonction.

3) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints.

4) Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations.

1)L’ensemble de définition de la fonction 𝑓 est [-5 ;7].

2) 𝑓 est décroissante sur [-5 ;-4] , croissante sur [-4 ;0], décroissante sur [0 ;5] et croissante [5 ;7]

3) 𝑓 admet un maximum en 𝑥 = 0 de valeur 𝑓(0) = 3,5 𝑓 admet un minimum en 𝑥 = −4 de valeur 𝑓(−4) = −4 4)

x -5 -4 0 5 7

f(x)

2 3,5 -1

-4 -2,5

A partir d’un exemple :On dispose du tableau de variations de la fonction 𝑓.

𝑥 -5 -3 -2 2 +∞

𝑓(𝑥)

4 0

-3 0

Dresser le tableau de signe de 𝑓.

𝑥 -5 -3 2 +∞

𝑓(𝑥) - 0 + 0 +

𝑓 est strictement négative sur [-5 ;-3[

𝑓 est strictement positive sur ]-3 ;2[U]2 ;+∞[

𝑓 s’annule en -3 et 2

Conclusion : si on dispose des antécédents de 0 et des variations de 𝑓, on peut dresser le tableau de signes d’une fonction 𝑓.

II- Signe et variations d’une fonction affine

Vidéo : mathssa.fr/affine(4mns18s) et mathssa.fr/variation (de 20mns20 jusqu’à 22mns 05s)

1. D

éfinitions- représentation

Définitions

Une fonction affine

f

est définie sur

ℝ

par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, où a et b sont deux nombres réels.

Lorsque

b

= 0, la fonction

f

définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 est une fonction linéaire.

𝑎 s’appelle le coefficient directeur et 𝑏 l’ordonnée à l’origine .

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.

Dans le cas d’une fonction linéaire, il s’agit d’une droite passant par l’origine du repère.

Dans le cas d’une fonction constante, il s’agit d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.

𝑏

1 𝑎

Chapitre 13 variations de fonctions

Exemples :

La fonction

f

définie sur

ℝ

par 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 6 est une fonction affine.

La fonction

g

définie sur

ℝ

par 𝑔(𝑥) = −²

7𝑥 est une fonction linéaire.

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.

Dans le cas d’une fonction linéaire, il s’agit d’une droite passant par l’origine du repère.

Dans le cas d’une fonction constante, il s’agit d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.

𝑎 = −2 𝑏 = 3 𝑎 = 1 𝑏 = 1 𝑎 = 3 𝑏 = −2 2.Variations

Propriété :

Soit

f

une fonction affine définie sur

ℝ

par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏.

Si 𝑎 > 0, alors f est croissante sur

ℝ

. Si 𝑎 < 0, alors f est décroissante sur

ℝ

. Si 𝑎 = 0, alors f est constante sur

ℝ

.

Démonstration :

Soient

m

et

p

deux nombres réels tels que

m

<

p

. 𝑓(𝑝) − 𝑓(𝑚) = (𝑎𝑝 + 𝑏) − (𝑎𝑚 + 𝑏) = 𝑎(𝑝 − 𝑚) On sait que

m

<

p

donc

p

–

m

> 0.

Le signe de 𝑓(𝑝) − 𝑓(𝑚) est le même que celui de

a

. - Si 𝑎 > 0, alors 𝑓(𝑝) − 𝑓(𝑚) > 0 soit 𝑓(𝑚) < 𝑓(𝑝).

Donc

f

est croissante sur

ℝ

.

- Si 𝑎 = 0, alors 𝑓(𝑝) − 𝑓(𝑚) = 0 soit 𝑓(𝑚) = 𝑓(𝑝).

Donc

f

est constante sur

ℝ

.

- Si 𝑎 < 0, alors 𝑓(𝑝) − 𝑓(𝑚) < 0 soit 𝑓(𝑚) > 𝑓(𝑝).

Donc

f

est décroissante sur

ℝ

. Application :

Déterminer en justifiant le tableau de variations de la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −2 + 0,5𝑥 = 0,5𝑥 − 2.

𝑎 = 0,5 𝑏 = −2 𝑎 > 0 donc la fonction affine 𝑓 est croissante sur ℝ

𝑥 -∞ ? +∞

𝑓(𝑥) 0

3.Signe d’une fonction affine à l’aide de ses variations A partir d’un exemple

Soit 𝑓 la fonction affine définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6.

1.Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 0.

2. Dresser le tableau de variations de 𝑓.

3. Dresser le tableau de signe de 𝑓.

1. −3𝑥 + 6 = 0 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑢𝑡 à − 3𝑥 = −6 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑢𝑡 à 𝑥 =⁻⁶

−3

é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑢𝑡 à 𝑥 = 2 La solution de cette équation est le réel 2.

2.𝑎 = −3 𝑏 = 6 𝑎 < 0 donc la fonction affine 𝑓 est décroissante sur ℝ

𝑥 -∞ 2 +∞

𝑓(𝑥)

0

𝑥 -∞ 2 +∞

𝑓(𝑥) + 0 -

𝑓 est strictement positive sur ]-∞ ;2[

𝑓 est strictement négative sur ]2 ;+∞[

𝑓 s’annule en 2

4.Signe d’une fonction affine à l’aide d’une inéquation A partir d’un exemple

Soit 𝑓 la fonction affine définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6.

1.Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) > 0.

2. Dresser le tableau de signe de 𝑓.

−3𝑥 + 6 > 0 (+) équivaut à −3𝑥 > −6 équivaut à 𝑥 <⁻⁶

−3 (on divise par -3<0)

équivaut à 𝑥 < 2 les solutions sont les réels de ]-∞ ;2[

2.

𝑥 -∞ 2 +∞

𝑓(𝑥) + 0 -

Chapitre 13 variations de fonctions

III-Inéquations et fonction affine 1.Signe d’une fonction affine

Exercice: Déterminer le signe d’une expression du type

ax

+

b

1) Déterminer le tableau de signes de l’expression 2

x

- 6, où

x

est un nombre réel en résolvant une inéquation

2) Déterminer le tableau de signes de l’expression –3

x

+ 12, où

x

est un nombre réel en utilisant une équation et un tableau de variations

1)2𝑥 − 6 > 0(+) équivaut à 2𝑥 > 6 équivaut à 𝑥 >⁶

2

équivaut à 𝑥 > 3 (à droite)

𝑥 -∞ 3 +∞

2𝑥 − 6

- 0 +

2) –3

x

+ 12=0 équivaut à −3𝑥 = −12 équivaut à 𝑥 =⁻¹²

−3 équivaut à 𝑥 = 4

𝑥 -∞ 4 +∞

−3𝑥 + 12

0

𝑥 -∞ 4

−3𝑥 + 12

+ 0 -

2.Régle des signes :

Règle: signe d’un produit ou d’un quotient)

Le produit ou le quotient de deux réels de même signe est un réel positif ou nul.

Le produit ou le quotient de deux réels de signe contraire est un réel négatif ou nul.

Exemples : (−2) × (−5) est un réel positif , 4 × (−𝜋) est un réel négatif

−2

√7 est un réel négatif

3.Signe d’un produit de fonctions affines

Méthode : Résoudre une inéquation en étudiant le signe d’un produit Vidéo : mathssa.fr/ine1 (4 mns et 30s)

Résoudre dans ℝ l’inéquation suivante : (3 − 6𝑥)(𝑥 + 2) > 0

Le signe de (3 − 6𝑥)(𝑥 + 2) dépend du signe de chaque facteur 3 – 6

x

et

x +

2.

3 – 6

x

> 0 +

x +

2 > 0 + -6

x

> -3

x

> –2 à droite 𝑥 < ⁻³

−6 𝑥 < ¹

2 à gauche

Résumons dans un même tableau de signes les résultats pour les deux facteurs.

En appliquant la règle des signes, on en déduit le signe du produit (3 − 6𝑥)(𝑥 + 2).

𝑥 -∞ −2 ¹

2 +∞

3 − 6𝑥 + + 0 -

𝑥 + 2 - 0 + + (3 − 6𝑥) × (𝑥 + 2) - 0 + 0 -

On en déduit que (3 − 6𝑥)(𝑥 + 2) > 0 pour 𝑥 ∈ ]−2 ; ¹

2[.

L’ensemble des solutions de l’inéquation (3 − 6𝑥)(𝑥 + 2) > 0 est ]−2 ; ¹

2[.

Vérification :

Chapitre 13 variations de fonctions

4.Signe d’un quotient de de fonctions affines

Méthode : Résoudre une inéquation en étudiant le signe d’un quotient Vidéo : mathssa.fr/ine2 (5mns33s)

Résoudre dans ℝ l’inéquation suivante : ^2−6𝑥 3𝑥−2 ≤ 0.

L’inéquation n’est pas définie pour 3

x

– 2 = 0, soit

x

= ² 3.

Il faudra éventuellement exclure cette valeur de l’ensemble des solutions.

Le signe de ^2−6𝑥

3𝑥−2 dépend du signe des expressions 2 − 6𝑥 et 3𝑥 − 2.

2 – 6

x

> 0 3

x -

2 > 0 -6

x

> -2 3

x

> 2

𝑥 < ⁻²

−6

^{𝑥 > 2}

3 𝑥 < ¹

3

Résumons dans un même tableau de signes les résultats pour les deux expressions.

𝑥 -∞ ¹

3 ²

3 +∞

2 − 6𝑥 + 0 - -

3𝑥 − 2 - - 0 +

2 − 6𝑥 3𝑥 − 2

- 0 + -

La double-barre dans le tableau signifie que le quotient n’est pas défini pour x = ²

3. On en déduit que ^2−6𝑥

3𝑥−2 ≤ 0 pour 𝑥 ∈ ]−∞ ; ¹

3] ∪ ]²

3 ; +∞[.

L’ensemble des solutions de l’inéquation ^2−6𝑥

3𝑥−2 ≤ 0 est ]−∞ ; ¹

3] ∪ ]²

3 ; +∞[.