VARIATIONS DE FONCTION 1 TESTEZ VOS CONNAISSANCES
Note sur 30
Exercice 1 (7 points)
Dresser le tableau de variations des fonctions suivantes sur I après avoir mis en évidence la fonction de référence utilisée. Détaillez les étapes.
) ⟼ 2 + 3) = ] − ∞; 0]
) ⟼ 1
5 − 3 = ]1; 10[
) ⟼ 1
4 − 2 = ] − ∞; −2[
) ⟼ 1
|2 + 1| = ] − ∞; −1 2 [ ) ⟼ 3 − 4) = [−5; −3]
) ⟼ 1
4 − 5 = [10; 100[
) ⟼ 5 −2
= [0; +∞[
Exercice 2 (7 points)
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes ) ) = −2 + 3 + 2
) ) = 2 + 3 −
) ℎ) = 1
² + − 2 ) #) = 2 + 1
− 9
) %) = ² + 2 − 3 ² − 2 − 3 ) &) = 9² − 16 ) () = )*++ ,
2 -.
2
Exercice 3 (6 points)
Dresser le tableau des variations des fonctions , ℎ, #, %, et &. Soit la fonction avec les variations suivantes :
−5 1 4 8 4
−3 ) = −4) ℎ) = + 2)
#) = 3 − 4 − 2)
%) = − 7
&) = [)]
() = + 5) + 3
Exercice 4 : Vrai ou Faux. Justifier vos réponses (4 points)
1) La fonction ) = √6 − − 1 est définie sur [0 ; +∞[
2) Soit ) =3 + 2
2 − 4 . On peut calculer )A# ≤ 2 3) Soit ) = −2 + 1 alors la fonction ) = −2
E 1
−4 −2 + 1)
est strictement croissante sur ] − ∞; −1
2].
4) Soit ) = √12− 4 + 3. ) est définie sur ℝ.
Exercice 5 : (6 points)
Etudier la position relative de la fonction par rapport à la fonction dans chaque cas.
) ) = 12 − 3 + 2 et ) = + 1 ) ) = 2
3 + 2 et ) = −2 ) ) = et ) = ²
3
Exercice 1
) La fonction ⟼ 2 + 3) est strictement croissante sur I.
) La fonction ⟼ 1
5 − 3 est strictement croissante sur I.
)La fonction ⟼ 1
4 − 2 est strictement décroissante sur I.
)La fonction ⟼ 1
|2 + 1| est strictement croissante sur I.
)La fonction ⟼ 3 − 4) est strictement décroissante sur I.
)La fonction ⟼ 1
4 − 5 est strictement décroissante sur I.
)La fonction ⟼ 5 −2
est strictement croissante sur I.
Exercice 2 ) L = [−2 ; 1
2 ] ) L = ℝ − M3N
) Lℎ =] − ∞; −2] ∪ [1; +∞[
) L# =] − ∞; −1
2] ∪ ]9; +∞[
) L% =] − ∞; −1 [ ∪ ] 3; +∞[
) L& =] − ∞; −4
3 ] ∪ [ 4 3 ; +∞[
) L( = ℝ
Exercice 3
−5 1 4
12
−32 −16
−3 3 6
ℎ 8 4
−3
−7 −1 2
# 15
−29 −13
−5 1 4
% 1 −3
−10
−5 1 4
& 512 64
−27
0 6 9
( √11 √7
0
Exercice 4
4
1) Vrai car L =] − ∞; −1
3 ] ∪ [1
2 ; +∞[ et [ 0; +∞ [ ⊂ L 2) Faux. L = ℝ − M2N
3) Faux
4) vrai car 12− 4 + 3 = 0. ∆= −128 < 0. Donc 12 − 4 + 3 > 0
Exercice 5
) ) − ) = 12− 3 + 2 − + 1) = 12− 3 + 2 − − 1 = 12− 4 + 1
∆= −4)− 4 × 12 × 1 = 16 − 48 = −32 < 0 −∞ +∞
) − ) +
Sur ℝ, ) − ) > 0 ⇔ ) > )
Sur ℝ, la représentation graphique de la fonction est au-dessus de celle de sur ℝ.
) ) − ) = 2
3 + 2 − −2) = 2
3 + 2 +2 3 + 2)
3 + 2 =2 + 6 + 4 3 + 2 ) − ) = 2 + 3 + 2)
3 + 2 On résout ∶ + 3 + 2 = 0
∆= 3² − 4 × 1 × 2 = 9 − 4 = 5 > 0 Z = −3 − √5
2 et =−3 + √5 2 et 3 + 2 ≠ 0 ⇔ = −2
3
−∞ Z . +∞
2 + + + +
² + 3 + 2 + − − + 3 + 2 − − + + ) − ) − + − +
Sur ] − ∞; Z[ ∪ ] −3 ; [ , ) − ) < 0 ⇔ ) < )
5
Sur] − ∞; Z[ ∪ ] −; [ , la représentation graphique de la fonction est en-dessous de celle de sur ℝ.
Sur ]Z; −2
3 [ ∪ ] ; +∞[ , ) − ) > 0 ⇔ ) > )
Sur ]Z; −[ ∪ ] ; +∞[ , la représentation graphique de la fonction est au-dessus de celle de sur ℝ.
En Z et , les courbes de et sont confondues.
) ) − ) = − = − 1)
On résout − 1) = 0 ⇔ ² = 0 \] − 1 = 0 ⇔ = 0 \] = 1
−∞ 0 1 +∞
+ + + − 1 − − + ) − ) − − +
