DEVOIR A LA MAISON N°4. Term Spé.
Pour le mercredi 7 octobre 2020 I. Dans un lycée, 40% des élèves sont des garçons. 40% des filles sont internes. Sachant que 37% des élèves sont internes, quel est le pourcentage d’internes parmi les garçons ?
II. Soit f la fonction définie sur par f(x) e 2x 4(2x 1) 41x et soit g la fonction définie sur par g(x) 4xe 2x 4 41.
1. Construire le tableau de variations de la fonction g. Donner une valeur approchée de(s) valeur(s).
2. Déterminer le signe de g(x) sur .
3. Construire le tableau de variations de la fonction f.
4. Montrer que la courbe représentative de f dans un repère passe par le point A(2 87) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d équation y 33x 5.
III. f est la fonction définie sur par f(x) 5x² 3x 1
x 2 et C est sa courbe représentative dans un repère.
1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d abscisse 1.
2. Étudier la position relative de T et C.
IV. Pour les volontaires.
Une assemblée est constituée de 2 00membres. Elle doit élire une commission constituée de trois parlementaires (chaque membre vote donc pour trois personnes). On s’intéresse au nombre de membres ayant voté pour au moins un parmi trois candidats qu’on désignera par A, B et C (et qui ne sont pas les seuls candidats). On sait que 112 membres ont voté pour A, 67 pour A et B, 32 pour A et C, 12 pour A, B et C, 5 pour B et C mais pas pour A, 56 pour C mais pas pour A ni B, et 22 pour B mais pas pour A.
1. Combien ont voté pour A mais pas pour B ? 2. Combien ont voté pour C ?
3. Combien n’ont voté pour aucun des trois candidats ? 4. Combien ont voté uniquement pour A?
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°4. Term Spé
I. On peut remplir le tableau suivant :
Garçons Filles Total
Internes 37%−24%=13% 24% 37%
Non internes 40%−13%=27% 60%−24%=36% 100%−37%=63%
Total 40% 100%−40%=60% 100%
40% de 60% 40 100
60 100
24
100 24% donc 24% des élèves sont des filles internes.
13
40 0,325 32,5%.
32,5% des garçons sont internes.
II.
1. g est dérivable sur . Pour tout réel x, g (x) 4e 2x 4 ( 2e 2x 4 4x) e 2x 4(4 8x)
On peut construire le tableau suivant :
x 1/2 e 2x 4
4 8x signe de g (x)
variations de g 0,82
g(1/2) 0,82
2. Le maximum de g sur est 0,82 0 donc g(x) est négatif sur : x
g(x)
3. f est dérivable sur . Pour tout x de , on a :
f (x) ( 2e 2x 4(2x 1) e 2x 4 2) 41 4xe 2x 4 2e( 2x 4) 2e 2x 4 41 4xe 2x 4 41 g(x).
On retrouve la fonction g étudiée aux questions précédentes.
On peut construire le tableau suivant :
x f (x) g(x)
f(x)
4. f(2) 87 donc la courbe de f passe par le point A(2 87).
Le coeffici ent di rect eur de la tangent e à l a courbe de f en A est
f (2) g(2) 4 2e 2 2 4 41 33. La tangente et la droite d équation y 33x 5 ont le même
coefficient directeur donc elles sont parallèles.
III.
1. T a pour équation y f (1)(x 1) f(1).
f est dérivable sur \{ 2}.
Pour tout x 2, f (x) (10x 3)(x 2) (5x² 3x 1)1 (x 2)²
5x² 20x 7 (x 2)² Alors f (1) 5 1² 20 1 7
(1 3)² 2 et f(1) 5 1² 3 1 1
1 2 1
Ainsi T a pour équation y 2(x 1) 1, ou encore y 2x 1.
2. On étudie le signe de f(x) (2x 1) Pour tout x 2 : f(x) (2x 1) 5x² 3x 1
x 2
(2x 1)(x 2) x 2
3x² 6x 3 x 2 f(x) (2x 1) 3(x² 2x 1)
x 1
3(x 1)² x 2 On peut alors construire le tableau :
x 2 1 3
(x 1)² x 2 f(x) (2x 1)
Position relative C est en dessous de T C est au dessus de T C est au dessus de T IV. Pour les volontaires.
1. Pour A mais pas pour B : card(A\B) 112 67 45. 45 ont voté pour A mais pas pour B.
2. Pour C : card(C) 56 32 5 93. 93 ont voté pour C.
3. Pour aucun des trois : 200 (56 112 22) 10. 10 n ont voté pour aucun des trois candidats.
4. Uniquement pour A : 112 (32 67 12) 25. 25 ont voté uniquement pour A.
