Mathématiques Seconde : Variations des fonctions
Thèmes
Exercices de base
Ex.B1 : Tableau de variations et courbe d’une fonction Ex.B2 : Variations de la fonction carré
Ex.B3 : Variations de la fonction inverse Ex.B4 : Variations de la fonction cube Exercices d’approfondissement
Ex.A1 : Courbe des fonctions carré et racine carrée
Ex.A2 : Approximation de la longueur d’une portion de courbe
Dans tous les exercices de base, on demande de choisir trois entiers .
On pourra les choisir parmi les 44 triplets suivants (6,8,9 est celui utilisé pour les corrigés) :
Énoncés Exercices de base
Ex.B1
1. Choisir trois entiers tels que et . On pose
. Préciser
Dans un repère orthonormé (1 unité = 1 grand carreau), on considère les points suivants : et . a) Tracer la courbe représentative de la fonction affine par morceaux dont la courbe est constituée des segments et .
b) Donner le tableau de variations de la fonction .
c) Donner le maximum de la fonction et ses antécédents.
d) Donner le minimum de la fonction et ses antécédents.
e) Donner un intervalle de longueur maximale sur lequel la fonction est croissante.
f) Donner un intervalle de longueur maximale sur lequel la fonction est décroissante.
2. Choisir trois entiers tels que et . On considère une fonction dont le tableau de variations est le suivant :
a) Donner l’ensemble de définition de la fonction et l’ensemble de ses valeurs.
b) Donner trois entiers tels que et . c) Donner trois entiers tels que et . d) Comparer et en justifiant.
e) Donner le nombre de solutions de l’équation . Ex.B2
1. Choisir trois entiers tels que et . Comparer les nombres suivants en justifiant :
a) et b)
et
2. Choisir trois entiers tels que et . On pose
. Préciser . Résoudre les inéquations suivantes :
a) b) c) d)
3. Choisir trois entiers tels que et . a) Soit un réel tel que .
Donner le meilleur encadrement possible de en justifiant chaque étape du calcul.
b) Soit un réel tel que .
Donner le meilleur encadrement possible de en justifiant chaque étape du calcul.
c) Soit un réel tel que .
Donner le meilleur encadrement possible de en justifiant chaque étape du calcul.
d) Soit un réel tel que .
Donner le meilleur encadrement possible de en justifiant chaque étape du calcul.
Ex.B3
1. Choisir trois entiers tels que et . Comparer les nombres suivants en justifiant :
a) et
b)
et
2. Choisir trois entiers tels que et . Résoudre les inéquations suivantes :
a) b) c) d)
3. Choisir trois entiers tels que et . a) Soit un réel tel que .
Donner le meilleur encadrement possible de
en justifiant chaque étape du calcul.
b) Soit un réel tel que .
Donner le meilleur encadrement possible de
en justifiant chaque étape du calcul.
c) Soit un réel tel que .
Donner le meilleur encadrement possible de en justifiant chaque étape du calcul.
d) Soit un réel tel que .
Donner le meilleur encadrement possible de en justifiant chaque étape du calcul.
Ex.B4
1. Choisir trois entiers tels que et . Résoudre les inéquations suivantes :
a) b) c) d) e) f) g)
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. Soit un point de coordonnées dans un repère orthonormé . On note le symétrique de par rapport à la droite d’équation .
a) Démontrer que le projeté orthogonal de sur a pour coordonnées . b) En déduire que a pour coordonnées .
c) On note la demi-parabole d’équation pour et la courbe symétrique de par rapport à , c’est-à-dire l’ensemble des points pour tous les points de .
Démontrer que est la courbe représentative de la fonction racine carrée.
Ex.A2
1. Soit une fonction définie sur un intervalle et sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
a) Écrire le code Python de la fonction distance qui prend en arguments les coordonnées de deux points et renvoie la distance entre ces deux points.
b) Soit un entier naturel non nul. On considère les réels , écrits dans l’ordre croissant, tels que , et, pour tout (entier compris entre et inclus) la distance entre et est constante.
Pour tout , on note le point de d’abscisse . Exprimer en fonction de , , et .
c) On obtient une approximation de la longueur en ajoutant les longueurs pour tout . On note .
En utilisant la fonction f qui prend en argument un nombre x et renvoie le nombre , écrire le code Python de la fonction estimationLongueur qui prend en arguments a, b et n et renvoie le nombre .
d) Écrire le code Python de la fonction approxLongueur qui prend en arguments a et b et affiche et pour tous les entiers compris entre et .
e) On note la longueur de la portion de courbe représentant la fonction carré pour . En utilisant la fonction approxLongueur, faire une conjecture sur la valeur de arrondie au millième.
Méthodes et indications
Exercices de base Ex.B1
1. b) Les seules valeurs de qui apparaissent dans un tableau de variations sont les extrémités des intervalles de définition et celles pour lesquelles il y a un changement de variation de .
2. Une fonction croissante sur un intervalle est une fonction qui conserve l’ordre entre les nombres de cet intervalle et leurs images et une fonction décroissante est une fonction qui inverse cet ordre.
Ex.B2
1. Penser à toujours simplifier les racines carrées quand c’est possible.
Par exemple ne jamais laisser mais poursuivre avec .
Rappel : les simplifications à connaître par cœur sont : et .
On utilise aussi l’égalité ( et positifs) pour simplifier une racine carrée.
Exemple. .
b) On compare deux fractions en les réduisant au même dénominateur.
2. On résout graphiquement en utilisant les courbes des fonctions carré et racine carrée :
Si alors Si alors
3. Décomposer le calcul en utilisant des fonctions affines et la fonction carré.
Ex.B3
1. La décroissance de la fonction inverse ne permet de comparer que des nombres de même signe mais s’ils sont de signes contraires, la comparaison est immédiate.
2. On résout graphiquement en utilisant la courbe de la fonction inverse :
Si alors Si alors ou
3. Décomposer le calcul en utilisant des fonctions affines et la fonction inverse et en remarquant que
Ex.B4
1. a) à d) On résout graphiquement en utilisant la courbe de la fonction cube
e) à g) On résout graphiquement en utilisant les courbes des fonctions carré, cube et
Pour tout réel on a Sur la calculatrice, est noté Remarquer que donc .
Si alors Si alors Si alors Si alors
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. a) Poser et traduire que et que est rectangle en . b) Remarque que est le milieu de
c) Démontrer le résultat demandé revient à démontrer que .
Ex.A2
1. b) Remarquer que pour tout .
Corrigés
Exercices de base Ex.B1
1. donc .
On a et . a)
b) On obtient le tableau de variations suivant :
c) Le maximum de la fonction est ; il est atteint pour et . d) Le minimum de la fonction est ; il est atteint pour .
e) L’intervalle de longueur maximale sur lequel la fonction est croissante est . f) L’intervalle de longueur maximale sur lequel la fonction est décroissante est .
2. Le tableau de variations est le suivant :
a) L’ensemble de définition de la fonction est et l’ensemble de ses valeurs est . b) Trois entiers tels que et sont par exemple et car est strictement croissante sur .
c) Trois entiers tels que et sont par exemple et car est strictement décroissante sur .
d) Comparer car est strictement croissante sur (ou sur ).
e) Donner le nombre de solutions de l’équation est : il y a , une solution dans l’intervalle et une solution dans l’intervalle .
Ex.B2
1. a) car . On peut justifier de deux façons :
et la fonction racine carrée est croissante sur donc ou encore
Par l’absurde, si alors, comme la fonction carrée est croissante sur , . Comme c’est faux, on a .
b) De même,
car (en effet
. Remarque.
car
(en effet, ) donc
. On a aussi
2. donc .
a) b) ou c) d)
3. a) Soit un réel tel que .
On a successivement les encadrements suivants :
car la fonction est décroissante sur
car la fonction est décroissante sur
b) Soit un réel tel que .
On a successivement les encadrements suivants :
car la fonction est croissante sur
car la fonction est décroissante sur puis croissante sur
c) Soit un réel tel que .
On a successivement les encadrements suivants :
car la fonction est croissante sur
car la fonction est croissante sur
d) Soit un réel tel que .
On a successivement les encadrements suivants :
car la fonction est décroissante sur
car la fonction est décroissante sur
Ex.B3
1. a)
car et la fonction inverse est strictement décroissante sur
b) car
2. a) ou b)
c) d) ou
3. a) Soit un réel tel que .
On a successivement les encadrements suivants :
car la fonction est croissante sur
car la fonction est décroissante sur b) Soit un réel tel que .
On a successivement les encadrements suivants :
car la fonction est décroissante sur
car la fonction est décroissante sur c) Soit un réel tel que .
On a successivement les encadrements suivants :
car la fonction est décroissante sur
car la fonction est croissante sur
d) Soit un réel tel que .
On a successivement les encadrements suivants :
car la fonction est décroissante sur
car la fonction est croissante sur
Ex.B4
1. a) b) c) d) e) ou f) ou g) ou
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. a) Notons les coordonnées de . Comme , on a donc .
De plus, d’après le théorème de Pythagore, comme le triangle est rectangle en , on a donc .
En développant, on obtient ou encore . Si alors donc et on a et a pour coordonnées . Si alors et on a ainsi que donc a pour coordonnées
aussi dans ce cas.
b) Notons les coordonnées de . Comme est le milieu de on a
et d’où on déduit et . Autrement dit a pour coordonnées .
c) On a avec
avec et et
donc est la courbe représentative de la fonction racine carrée.
Ex.A2
1. a) from math import sqrt #la fonction sqrt est dans le module math def distance(xA,yA,xB,yB):
return sqrt((xB-xA)**2+(yB-yA)**2)
b) Les divisent l’intervalle en segments de même longueur donc, on a
pour tout .
Alors, comme , on a pour tout c) L’ordonnée de est donc on peut écrire le code suivant : def estimationLongueur(a,b,n):
L=0
for i in range(n):
x1,x2 = a+i*(b-a)/n,a+(i+1)*(b-a)/n L+=distance(x1,f(x1),x2,f(x2))
return L
d) def approxLongueur(a,b):
for n in range(100):
print(n,estimationLongueur(a,b,n+1)
e) En exécutant le code approxLongueur(0,1,100)(après avoir écrit la fonction f), def f(x):
return x**2,
on constate que augmente régulièrement mais que les premières décimales ne changent plus à partir d’un certain moment.
Le 100ème affichage est 1.4789354039742377 ; les trois premières décimales ne changent plus depuis et les quatre premières depuis .
On peut donc conjecturer que la valeur arrondie de au millième est . Remarque. La valeur exacte est ou encore .
La signification de ces symboles est au programme de Terminale et la démonstration du résultat se voit dans l’enseignement post-bac.
La calculatrice donne 1.478942858 comme valeur approchée de .
