G259 – Susceptibilités à ménager [**** à la main]
Solution proposée par Bernard Vignes Q₁
On représente les n² candidats dans une grille carrée de côté n contenant n² points. Il y a 4 candidats placés aux quatre coins, 4(n – 2) sur les quatre bords et (n – 2)² à l’intérieur du carré.
Chaque point est affecté d’un nombre qui est le rang d’entrée du candidat. Des flèches relient deux points voisins et sont orientées du rang d’entrée le plus grand vers le rang d’entrée le plus petit.Le nombre de flèches ainsi tracées est égal à (2 x 4 + 3 x 4(n – 2) + 4(n – 2)²)/2 = 2n(n – 1).
On désigne respectivement par a,b et c les nombres des candidats satisfaits assis aux quatre coins du carré, sur les quatre bords et à l’intérieur du carré. Pour tout candidat satisfait, il y a au plus une flèche qui part du point où il est placé et il n’y a évidemment aucune flèche qui part du point où se trouve le major d’entrée. Le nombre de flèches qui partent des candidats satisfaits est donc au plus égal à a + b + c – 1.
On a d’abord l’inégalité évidente a ≤ 4.
Il y a au plus 2(4 – a) flèches qui partent des candidats insatisfaits situés aux quatre coins, 3(4(n – 2) – b) flèches qui partent des candidats insatisfaits placés sur les bords et 4((n – 2)² - c) flèches qui partent des candidats insatisfaits placés à l’intérieur.Le nombre total de flèches 2n(n – 1) obéit alors à l’inégalité : 2n(n – 1) ≤ (a + b + c – 1 ) + (8 – 2a) + 12( n – 2) – 3b + 4(n – 2)² - 4c qui se ramène à l’inégalité a + 2b + 3c ≤ 2n² – 2n – 1.
Enfin le moins bien classé des candidats placés à la périphérie du carré est nécessairement insatisfait et le nombre total de candidats satisfaits qui se trouvent à cette périphérie obéit à l’inégalité a + b ≤ 4(n – 1) – 1 ou encore a + b ≤ 4n – 5.
Additionnant les trois inégalités on obtient a + b + c ≤ (2n² + 2n – 2 )/3.
Le nombre maximum M de candidats satisfaits est donc égal à M = [(2n² + 2n – 2 )/3] avec [...] désignant la partie entière par défaut.
Un calcul rapide montre que pour n = 10, on a M = 72 candidats satisfaits et 100 – 72 = 28 candidats insatisfaits.
Q₂ Un plan d’affectation possible est le suivant :
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 100 72 99 71 98 70 97 69 96 12 68 95 67 94 66 93 65 92 64 13 91 63 61 60 58 57 55 54 53 14 52 90 62 89 59 88 56 87 51 15 86 50 85 49 84 48 83 47 46 16 36 37 39 40 42 43 45 82 30 17 81 38 80 41 79 44 78 31 29 77 35 76 34 75 33 74 32 73 28 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Les candidats sont repérés par leur rang d’entrée et les 28 candidats insatisfaits sont classés de 73 à 100 et appartiennent aux places coloriées en violet.
