1/ Pour tout point M : a −−→

Première 6 S – 2007/2008 Lundi 18 février 2008

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7

Éléments de correction Exercice 1

1/ Pour tout point M : a −−→

M A + b −−→

M B + c −−→

M C = a( −−→

M G + −−→

GA) + b( −−→

M G + −−→

GB ) + c( −−→

M G + −−→

GC )

= (a + b + c) −−→

M G + a −−→

GA + b −−→

GB + c −−→

GC = (a + b + c) −−→

M G 2/ L’égalité précédente pour M = O donne :

−−→ OG = a a + b + c

−−→ OA + b a + b + c

−−→ OB + c a + b + c

−−→ OC On obtient donc :







x

G

= a

a + b + c x

A

+ b

a + b + c x

B

+ c

a + b + c x

C

= ax

A

+ bx

B

+ cx

C

a + b + c y

G

= a

a + b + c y

A

+ b

a + b + c y

B

+ c

a + b + c y

C

= ay

A

+ by

B

+ cy

C

a + b + c 3/ G(−1; −6).

Exercice 2 1/ • −→

AJ = −2 −−→

AC ⇔ −→

AJ = −2 −→

AJ − 2 −→

J C ⇔ 3 −→

J A − 2 −→

J C = − → 0 Ainsi J = Bar {(A; 3) ; (C; −2)}

• −−→

AK = − −−→

AB ⇔ −−→

AK = − −−→

AK − −−→

KB ⇔ 2 −−→

KA − −−→

KB = − → 0 Ainsi K = Bar {(A; 2) ; (B; −1)}

• −−→

CG = −3 −−→

CK ⇔ −−→

CG = −3 −−→

CG − 3 −−→

GK ⇔ 4 −−→

GC − 3 −−→

GK = − → 0 Ainsi G = Bar {(C; 4) ; (K; −3)}

2/

G = Bar {(C; 4) ; (K; −3)}

K = Bar {(A; −6) ; (B ; 3)} donc G = Bar {(C; 4) ; (A; −6) ; (B; 3)}

G = Bar {(C; 4) ; (A; −6) ; (B; 3)}

J = Bar {(A; −6) ; (C; 4)} donc G = Bar {(J ; −2) ; (B; 3)}

B , G et J sont donc alignés.

Exercice 3

1/







G = Bar {(A; 2) ; (B; −1) ; (C; 2) ; (D; −1)}

I = Bar {(A; 2) ; (C; 2)}

J = Bar {(B; −1) ; (D; −1)}

donc G = Bar {(I; 4) ; (J ; −2)} = Bar {(I ; 2) ; (J; −1)}.

Pour tout M du plan 2 −−→

M I − −−→

M J = −−→

M G Pour M = I, on obtient −→

IG = − − → IJ . 2/ a)

2 −−→

AA − −−→

AB + 2 −−→

AC − −−→

AD

=

− −−→

AB + 2 −−→

AC − −−→

AD

=

−−→ AB − 2 −−→

AC + −−→

AD

donc A ∈

E

b) Pour tout M du plan, 2 −−→

M A − −−→

M B + 2 −−→

M C − −−→

M D = 2 −−→

M G et −−→

M B + −−→

M D = 2 −−→

M J donc −−→

M B − 2 −−→

M C + −−→

M D = 2 −→

CJ L’équation devient donc :

2 −−→

M G

=

2 −→

CJ

⇔ GM = CJ .

L’ensemble

E

est donc le cercle de centre G et de rayon CJ (ou le cercle de centre G passant par A).

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7 – 1/2

Première 6 S – 2007/2008 Lundi 18 février 2008 3/ a)

2 −→

IA − −→

IB + 2 −→

IC − −→

ID

=

− −→

IB − −→

ID

=

−→ IB + −→

ID

donc I ∈

F

.

b) Pour tout M du plan, 2 −−→

M A − −−→

M B + 2 −−→

M C − −−→

M D = 2 −−→

M G et −−→

M B + −−→

M D = 2 −−→

M J L’équation devient donc :

2 −−→

M G

=

2 −−→

M J

⇔ GM = J M.

L’ensemble

F

est donc la médiatrice de [GJ ].

I J

G

E F

B

D

C A

Exercice 4

1/ G

k

existe ⇔ (1 − k

²

) + (1 − k

²

) + (2k

²

− 2k) 6= 0 ⇔ 2 − 2k 6= 0 ⇔ k 6= 1 donc

D

=

R

\ {1}

2/ Pour tout M : (1 − k

²

) −−→

M A + (1 − k

²

) −−→

M B + (2k

²

− 2k) −−→

M C = (2 − 2k) −−−→

M G

k

donc (1 − k

²

)( −−→

M A + −−→

M B ) + (2k

²

− 2k) −−→

M C = (2 − 2k) −−−→

M G

k

et −−→

M A + −−→

M B = 2 −−→

M I car I est le milieu de [AB].

donc 2(1 − k

²

) −−→

M I + (2k

²

− 2k) −−→

M C = (2 − 2k) −−−→

M G

k

. L’égalité précédente pour M = I donne :

−−→ IG

k

= 2k

²

− 2k 2 − 2k

−→ IC = k(2k − 2) 2 − 2k

−→ IC = −k −→

IC

3/ Lorsque k décrit

D

, G

k

décrit la droite (IC) privée du point G tel que −→

IG = − −→

IC

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7 – 2/2