Calcul intégral

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Calcul intégral

I. Intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle.

Définitions :

• Dans un repère orthogonal (O ; I , J), on appelle unité d'aire l'aire du rectangle de côtés [OI] et [OJ].

• Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I =[a ; b] et c sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; I , J).

On appelle intégrale de f entre a et b l'aire de la surface délimitée par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation x = a et x = b, exprimée en unités d'aires.

On le note

∫

a b

f (x)dx .

Remarques :

• Dans la notation, la variable est dite « muette » donc

∫

a b

f(x)dx =

∫

a b

f (y)dy, par exemple.

•

∫

a a

f(x)dx = 0.

Théorème :

Soit f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b].

La fonction F définie sur [a ; b] par F(x) =

∫

a x

f (t)dt est dérivable sur [a ; b] et a pour dérivée f.

II. Primitive d'une fonction continue sur un intervalle.

Définition :

Soit f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b].

Une primitive de f sur [a ; b] est une fonction F, dérivable sur [a ; b], telle que F ' (x) = f(x) pour tout x  [a ; b].

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Propriétés :

• Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive.

• Si F est une primitive de f sur I alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme F(x) + k, k  .

• Condition initiale : Il existe une unique primitive de f sur I telle que F(x0) = y0.

Primitives des fonctions usuelles

fonction f Une primitive F Sur l'intervalle

f(x) = 1

x² F(x) = – 1

x 

f(x) = 1

x F(x) = ln(x) ] 0 ; +  [

f(x) = e^x F(x) = e^x 

f(x) = 1

√

^x ^{F(x) = 2}

√

^x ] 0 ; +  [

f(x) = xⁿ F(x) = 1

n+1 xⁿ⁺¹  si n > 0

] -  ; 0 [ ou ] 0 ; +  [ si n < 0

Propriétés :

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, k un réel quelconque et u une fonction dérivable sur I.

• Une primitive de kf est kF.

• Une primitive de f + g est F + G.

• Une primitive de u' e^u est e^u.

Exemple :

Soit f la fonction définie sur  par f(x) = x e^x²⁺¹. On reconnaît une forme u' e^u en écrivant f(x) = ¹

2 2x e^x²⁺¹ donc une primitive de f sur  peut s'écrire F(x) = ¹

2 e^x²⁺¹.

III. Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle.

Définition :

Le nombre F(b)−F(a), indépendant du choix de F, est appelé intégrale de a à b de f . On le note

∫

a b

f (x)dx=F(b)−F(a).

(3)

Propriétés :

•

∫

a a

f(x)dx=0

•

∫

a b

f(x)dx = -

∫

b a

f (x)dx

•

∫

a b

λ f(x)dx=λ

∫

a b

f(x)dx où λ est un réel

•

∫

a b

[^f (x)+g(x)]^dx=

∫

a b

f(x)dx+

∫

a b

g(x)dx

• Relation de Chasles Si b∈[a ;c] , alors

∫

a c

f (x)dx=

∫

a b

f(x)dx+

∫

b c

f(x)dx

• Si, pour tout x∈[a ; b] , on a f(x)⩾0 , alors

∫

a b

f(x)dx⩾0

• Si, pour tout x∈[a ; b] , on a f(x)⩽g(x), alors

∫

a b

f(x)dx⩽

∫

a b

g(x)dx.

}

Remarque :

La réciproque de la positivité n'est pas forcément vraie, on peut avoir

∫

a b

f(x)dx⩾0 sans avoir f positive sur [ a ; b ].

∫

0 3

(2x−1)dx=[x²−x]₀³=6 . Donc

∫

0 3

(2x−1)dx⩾0 . Cependant, la fonction x  2x – 1 n'est pas positive sur [ 0;3 ] .

IV. Applications.

1. Aires.

Définitions :

Si f est une fonction positive sur [ a ; b ], alors

∫

a b

f (x)dx est égal à l'aire du domaine compris entre la courbe de f , l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b exprimé en unité d'aire. (U.A.) Si f est une fonction négative sur [ a ; b ], alors −

∫

a b

f (x)dx est égale à l'aire du domaine compris entre la courbe de – f , l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b.

Dans ce cas, A=

∫

a b

[−f(x)]^dx^.

Remarque : Aire d'une fonction quelconque ; découpage d'aire

linéarité de l'intégrale

Inégalité Positivité

(4)

Pour calculer l'aire d'un domaine définie par une fonction changeant de signe, il faut découper l'intervalle en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.

Exemple :

On considère la fonction f définie sur [ 0 ; 2 ] par f(x) = x³ – x². On veut déterminer l'aire de la partie grisée.

f est négative sur l'intervalle [ 0 ; 1 ]. Pour calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de f , l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = 0 et x = 1, il suffit de calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de – f , l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = 0 et x = 1.

Ensuite, on calcule l'aire du domaine compris entre la courbe de f , l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = 1 et x = 2.

a = –

∫

0 1

f (x)dx +

∫

1 2

f (x)dx = – [x⁴

4−x³

3 ]₀¹ + [x⁴ 4−x³

3 ]₁² = – 1

4 + 1

3 + 4 – 8 3 – 1

4 + 1 3 = 2 – 1

2 = 3

2 u.a.

2. Valeur moyenne de f . Définition :

Soit f une fonction continue sur [ a ; b ]. On appelle valeur moyenne de f sur [ a ; b ] le nombre réel μf

défini par μf= 1 b−a

∫

a b

f(x)dx.

Interprétation graphique :

La droite d'équation y=μf est la droite horizontale telle l'aire des parties de plan délimitées par l'axe des abscisses, les droites d'équation x=a et x=b d'une part et les courbes d'équation y=f(x) et y=μ_f soient de même valeur.

Exemple :

La valeur moyenne sur [ 1 ; 2 ] de la fonction f(x) = x³ – x²est : μf= 1

2−1

∫

1 2

f(x)dx = [x⁴ 4−x³

3 ]₁² = 4 – 8 3 – 1

4 + 1 3 = 17

12 .