Calcul Intégral

I) INTÉGRALED’UNEFONCTIONCONTINUEDESIGNECONSTANT

Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthogonal (O; I ;J) . On considère alors comme unité d’aire, l’aire

du rectangle OIKJ .

On notera dans la suite u . a pour unité d’aire.

EXEMPLE

Le rectangle ABCD a pour aire 4u . a . Si les unités graphiques sont 2cm en abscisse et 1cm en ordonnée, alors 1u . a=2cm² donc ABCD a pour aire 8 cm².

REMARQUES

* L’intégrale de f , continue et positive sur [a ;b] , est un nombre positif.

* On dit que a et b sont les bornes de l’intervalle.

Calcul Intégral

DÉFINITION

Soit f une fonction CONTINUEETPOSITIVE sur un intervalle [a ;b] et C sa courbe représentative

dans un repère orthogonal (O; I ;J) . Onappelle intégrale de a à b de la fonction f , et on note

∫

a b

f(x)dx l' aire , en unités d ' aire , l’aire de la partie du plan limitée par la courbe

C,

des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b , c’est-à-dire l’ensemble des points M(x ; y) tels

que

a ≤ x ≤ b 0≤ y ≤ f(x)

On parle souvent d’aire sous la courbe.

REMARQUE

L’aire du domaine existe puisque la fonction est positive et continue sur [a ;b] _.

¿

∫

a b

f(x)dx selit: intégrale de a à b de f(x) dx

* La variable x est appelée variable « muette », car elle n’intervient pas dans le résultat final. On peut donc remplacer x par n’importe quelle autre variable :

f(x)dx=¿

∫

a b

f (t)dt=

∫

a b

f(u)du

∫

a b

¿

• Soit f une fonction continue positive sur R . Certaines propriétés sur les aires se traduisent immédiatement en termes d’intégrales :

EXEMPLE

On définit la fonction f sur ℝpar f(x)=2−x . Le domaine D ci-contre est un triangle rectangle.

ADDITIVITÉ DES AIRES

CONSERVATION PAR SYMÉTRIE

CONSERVATION PAR TRANSLATION

En appliquant la formule de l’aire d’un triangle, on obtient :

∫

f(x)dx=5×5 2 =25

2 =12,5u . a .

EXERCICE

On définit la fonction f sur ℝ par f(x)=5−2x .

On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité 2cm .

1) Calculer l’aire du domaine D délimité parC f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=−6 et x=1en u . a , puis en c m² .

2) En déduire la valeur de l’intégrale :

∫

−6 1

f(x)dx .

Si est une fonction continue et positive sur alors la fonction définie sur par est l’unique primitive de s’annulant en . THÉORÈ

ME

Si est une fonction continue et positive sur un intervalle et si est une primitive PROPRIÉ

TÉ

Soit une fonction continue sur un intervalle , et des réels de tels que .

Soit la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses et la courbe représentative de et les droites d’équations et .

PROPRIÉT ÉS

REMARQUE

• Cette propriété reste valable pour une fonction continue dont le signe n’est pas constant.

• On note aussi F(b)−F(a)=

[

]

a qui se lit « F(x) pris entre a et b ».

EXEMPLE

∫

cos(x)dx=

[

]

2=sin

(

)

• Pour un grand nombre de fonctions, vous avez réussi à trouver des primitives par « lecture inverse » du tableau des dérivées.

Pour d’autres, on ne connait pas d’expression explicite des primitives, _x↦e^−x² par exemple, et on ne peut pas calculer de façon exacte une de ses intégrales.

EXERCICE

Calculer et interpréter graphiquement ;

∫

x²dx .

II) INTÉGRALED’UNEFONCTIONCONTINUEDESIGNEQUELCONQUE

a et b sont deux réels quelconques. I est un intervalle contenant a et b . 1) PRIMITIVESET CALCUL INTÉGRAL

REMARQUE

• Dans ce cas, on ne peut plus interpréter géométriquement l’intégrale comme l’aire d’un domaine.

• Cette définition ne dépend pas de la primitive choisie puisque ces primitives diffèrent entre elles d’une constante.

Soit une fonction continue sur un intervalle et soient et . On appelle intégrale de à de la fonction , le nombre réel :

où est une primitive de sur . DÉFINITI

ON

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

PROPRIÉ TÉ

EXEMPLE

La fonction f définie sur ℝ par f(x)=x²−3x , est continue sur ℝ et admet pour primitive la fonction F définie par F(x)=1

3x³−3

2x² . Donc

∫

f(x)dx=

[

]

5=F(5)−F(2)=125 3 −75

2 −8

3+6=15 2

REMARQUE

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b] ( a ≠ b ).

Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; I ;J) . La valeur moyenne de f sur [a ;b] est le

nombre réel m tel que :

∫

f(x)dx=m(b−a)

m est donc le nombre réel pour lequel l’aire du rectangle est égale à l’aire sous la courbe de f .

EXEMPLE

La valeur moyenne de la fonction cube sur [1;3] est : 1

3−1

∫

1 3

x³dx=1 2×1

4×3⁴−1 2×1

4×1⁴=81 8 −1

8=10

EXERCICE

1) Calculer

∫

3 x

√

2) Soit f la fonction définie sur R \ {−2} par : f(x)= 1

(x+2)².

a) Calculer la valeur moyenne de f sur [−1;3] . Soit une fonction continue sur un intervalle ().

DÉFINITI ON

b) Interpréter graphiquement ce résultat.

2) PROPRIÉTÉS

REMARQUE

Onen déduit en particulier que:

∫

a b

(λf(x)−μ g(x))dx=λ

∫

a b

f(x)dx−μ

∫

a b

g(x)dx EXERCICE

Soit , pour n entier naturel , I_n=

∫

0 1 x²ⁿ⁺¹

1+x²dx a¿Calculer I₀

b¿Montrer que pour tout n∈N , I_n+I_n+1= 1 2n+2 c¿En déduire I₁, I₂et I₃.

Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle et et deux réels tels que (et uniquement dans ce cas) :

PROPRIÉ TÉS

Soient et deux fonctions continues sur un intervalle et des réels de .

Relation de Chasles (rencontrée dans le cas où est positive ou nulle sur : additivité) : Linéarité :

PROPRIÉ TÉS

EXERCICE

1) On considère la fonction f définie sur R par f(x)=e^x² . On ne demande pas de calculer les intégrales.

a¿Montrer que

∫

−1 0

f(x)dx ≥0b¿Montrer que2≤

∫

−1 1

f(x)dx ≤2e

2) Soit φ la fonction définie sur R par φ(x)=3e^x+2x . Calculer

∫

0 2

φ(x)dx .

•

∫

a b

f(x)dx est donc la sommedesaires algébriques.

EXERCICE

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 cm.

Représenter graphiquement f définie sur R par f(x)=−x²−2x+3 puis calculer l’aire de la portion fermée du plan située entre la courbe et l’axe des abscisses et les droites d’équations x=−4et x=4 .

Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle et et deux réels tels que (et uniquement dans ce cas) :

CONSÉQUE NCE

ENTRE DEUX COURBES - PROPRIÉTÉ ADMISE.

EXERCICE

1) Déterminer, en unités d’aire, l’aire de la partie du plan limitée par la courbe C représentant la fonction f définie par f (x)=x²−x−3 , la droite D d’équation

y=2x−3 et les droites verticales d’équations x=1 et x=2 . Faire une figure.

2) Démontrer que 8

9≤

∫

0

8 1

1+xdx ≤8.

III) INTÉGRATIONPARPARTIES

REMARQUES

• La propriété reste vraie si a<b .

• Il est parfois utile de remarquer que

∫

a b

f(x)dx=

∫

a b

1× f(x)dx pour effectuer une intégration par parties en utilisant u '(x)=1 .

• Le choix des fonctions u ' et v est important pour permettre de continuer les calculs. Il ne faut pas oublier que certaines fonctions sont plus faciles à intégrer que d’autres

(exponentielle, fonctions polynômes…).

EXEMPLE

Calculer

∫

−1 0

x e^xdx .

On définit les fonctions u et v sur [−1;0] par u^'(x)=e^x et v(x)=x .

On considère deux fonctions et dérivables sur un intervalle telles que et v’ soient continues sur . Soient et deux réels tels que . Alors :

PROPRIÉTÉ : INTÉGRATION PAR PARTIES

Ainsi, pour tout x∈[−1;0] , on peut poser u(x)=e^x et on a v^'(x)=1 ; u et v sont dérivables sur [−1;0] et u ' et v ' sont continuez sur [−1;0] .

En utilisant une intégration par parties, on obtient :

∫

−1 0

x e^xdx=

[

]

0 −

∫

−1 0

e^xdx=e⁻¹−

[

]

0 =2e⁻¹−1

EXERCICE

IV) EXERCICES 1)

2)

Onadmet que

∫

0

e−1 1

x+1dx=1.Calculer

∫

0

e−1 x

(x+1)²dx .

3) Montrer que : 2≤

∫

1 3 e^x−1

x dx ≤2e² 3 .

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

n