Calcul intégral

CLACUL INTEGRAL Première Partie

Le plan étant muni d'un repère orthogonal ( ; ; ), on définit les points I,J et K p

I) Notion d'i

ar:

; ; rectangle.

L'aire du rectangle définit ntégrale d'une foncti

l' o

u it n

n

P O i j

OI i OJ j OIKJ OIKJ

= =

é d'aire (u.a).

Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [ ; ], et sa courbe dans le repère

1) Définition:

( ; ; ).

L'intégrale de entre et est le réel no Intégrale d'une fonction positive

t

f a b

C O i j

f a b é ( ) ,

égal à l'aire, exprimée en unité d'aire,

du domaine délimité par la courbe l'axe des abscisses et les droites d'équation

b

a f x dx

D C

x=a et x=b

∫

et sont les bornes de l'intégrale, est une variable muette, elle peut être remplacée par tout autre variable.

( ) ( ) ( ) .

b b b

a a a

a b x

f x dx= f t dt= f u du

∫ ∫ ∫

0 3

2 1

2(3 1)

3 6 ici le domaine est un rectangle. 4 Le domaine est un trapèze.

Exemp e:

2 l

dx D tdt D

−

= = +

∫ ∫

Si est une fonction continue et négative sur [a;b], alors l'intégrale de f entre a et b est définie par: ( ) où est l'air du domaine délimité par la

2) Intégrale d'une fonction négative:

b a

f

f x dx A

A D

∫

= − courbe l'axe des abscisses et les droites d'équation .

C x=a et x=b

Remarque: cas d'une fonction qui change de signe sur [a;b]

On découpe l'intervalle [a,b] en intervalles sur lesquels a un signe constantf

^b ( ) ( ₁) ( ₂) ( ₃)

a f x dx A D= −A D +A D

∫

Soit une fonction continue et positive sur [a;b] (a<b).

La valeur moyenne de sur [a;b] est le réel: 1 ( ) 3) Valeur moyenne:

b a

f

f m f x dx

=b a×

−

∫

Exemple 1

2 3

-1 -2 -3

2 3

-1

0 1

1

x y

Exemple 2 : cas où f change de signe sur un intervalle.

3 5 5

1 3 1

Soit la fonction définie par: ( ) 1 1.

3

Calculer ( ) et ( ) En déduire la valeur de ( )

g g x x

g x dx g x dx g x dx

− −

= −

∫ ∫ ∫

(admis):Toute fonction continue sur un intervalle [ ; ], admet une intégrale sur cet inte II) Propriétés de l'intégrale

1) Théorème 2) Propr

rvalle.

Soit et deux fonctions continues sur iété

un s

inter :

a b

f g

( )

valle , , et trois réels de :

) ( ) 0

) ( ) ( )

) ( ) ( ) ( ) Relation de Chasles

) ( ) ( ) ( ) ( ) Linéarité de l'intégrale

e) Si pour to

a a

b a

a b

b c c

a b a

b b b

a a a

I a b c I

a f x dx

b f x dx f x dx

c f x dx f x dx f x dx

d f x g x dx f x dx g x dx

=

= −

+ =

+ = +

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Conservation de l'ordre Inégalité de l

ut réel [ ; ], on a ( ) ( ), alors ( ) ( ) .

) a : Si est continue sur un intervalle , et deux réels de , : ( )

moyenne

( ) ( )

b b

a a

a

x a b f x g x f x dx g x dx

f f I a b I a b

m f x M m b a f x dx

∈ ≤ ≤

≤

≤ ≤ ⇔ − ≤

∫ ∫

( )

( ) ( )

b

b a

M b a

f x M f x dx M b a

≤ −

≤ ⇔ ≤ −

∫

∫

Si ( ) alors on a: ( ) et ( )

( ), d'après la conservation de l'ordre, on a: ( ) ( ) ( ) . ( ) , le même raisonnement

Démonstration:

donne: ( ) ( )

Soit (

b b b

a a a

b a

m f x M m f x f x M

m f x mdx f x dx m b a f x dx

f x M f x dx M b a

m b

≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ⇔ − ≤

≤ ≤ −

−

∫ ∫ ∫

∫

) ^b ( ) ( ).

a ≤

∫

a f x dx≤M b a−

9 2

y= −x ₃

Calculer

∫

-3 f x dx( )

La courbe de est donée ci-contref . En déduire la valeur moyenne de f sur [-3 ;3]

Deuxième Partie

Soit une fonction continue sur un intervalle , un élément de . our tout réel

I) Primitives d'une fonction c

de , la fonction définie pa

ontinue 1) Théorè

r: : ( ) est dérivable

me:

x a

f I

a I P x I

F x^֏

∫

f t dt

sur est sa dérivée est . I f F t'( )= f t( )

Considérons le cas où est une fonction croissante et positive sur [ ; ]. et deux éléments

Démonstration:

de [ ; ], avec 0.

f

a b α α+h a b h>

On a ( ) ( ) : sous la courbe sur l'intervalle [ ; ]

( ) ( ) : sous la courbe sur l'intervalle [ ; ] Donc l'aire sous la courbe sur l'intervalle [ ; ] est donnée p

f a

h

f a

f

F f t dt aire C a

F h f t dt aire C a h

C h

α

α

α α

α α

α α

+

=

+ = +

+

∫

∫

0

ar: ( ) ( )

Un encadrement de cette aire est: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

étant positif, ( ) ( )

est une fonction continue, donc lim ( ) ( ) Le théorème des genda

h

F h F

h f F h F h f h

F h F

h f f h

h

f f h f

α α

α α α α

α α

α α

α α

→

+ −

× ≤ + − ≤ × +

≤ + − ≤ +

+ =

0

( ) ( )

rmes donne (passage à la limite): lim ( )

On peut donc conclure que la fonction est dérivable en

(puisque la limite de son taux de variation est un nombre fini ) et son nombre déri

h

F h F

h f F

α α α

α

→

+ − =

vé est: F'( )α = f( )α On appelle primitive de la fonction sur l'intervalle ,

toute fonction dérivable sur telle 2) Défin

que : ition:

'( ) ( )

f I

F I F x = f x

a) Toute fonction continue sur un intervalle , admet des primitives sur . b) Si et sont deux primitives de sur , alors ( ) ( ) où est 3) Propriétés

une constante réelle.

c) Il existe une

I I

F G f I F x =G x +K K

0 0

seule primitive de sur qui vérifie: ( )F f I F x = y .

a) cette propriété découle du théorème précédent: est dérivable et '( ) ( ).

) Soit et deux primitives de sur un intervalle '( ) ( )

En soustrayant ces deux éga '( )

Démonstration

) :

(

F F f

b F G f I

F x f x G x f x

α = α

= 

= 

( )

lités, on obtient: '( ) '( ) 0

soit ( ) ( ) ' 0 est donc une fonction constante, ( ) ( ) ( ) ( ) c) L'ensemble des primitives d'une fonction diffèrent d'une constante : ( ) ( )

(

F x G x

F x G x F G F x G x k F x G x k

k F x G x k F x

− =

− = ⇔ − − = ⇔ = +

= +

( )

0 0 0 0 0 0

0 0

) ( ) ( ),

donc la fonction est telle que: ( ) ( ) ( ) .

y y G x k k y G x

F F x G x y G x

= ⇔ = + ⇔ = −

= + −

La fonction ( ) ( ) est l'unique primitive de qui s'annule en . On a '( ) ( ) et ( ) ( ) 0 d'après les pro

hé

pr or

ié ème

tés :

Démonstratio de l'intégrale.

Donc ( ) est bien l'u n:

x a

a a x

a

F x f t dt f a

F x f x F a f t dt T

f t dt

=

= = =

∫

∫

∫

nique primitive de telle que ( )f F a =0.

1

*

*

1

Fonction F Primitive F Intervalle I

( ) ( une constante réel 4) a)

le) Primitives des fonctions u

( )

( ) ; ( )

1

1 1 1

( ) e

s

t 2

uelles:

( ) 0

1

( ) 1 ( ) 2

n n

n n

f x a a F x ax k k

f x x n F x x k

n

f x n n F x k x

x n x

f x F x x k

x

+

−

= = + ∈

= ∈ = +

+

= ∈ ≥ = − × + ≠

−

= = +

ℝ ℝ

ℕ ℝ

ℕ

2

2

2

]0; [

1 1

( ) ( ) ] ; 0[ ]0; [

( ) 1 ( ) ln ]0; [

( ) cos ( ) sin

( ) sin ( ) cos

( ) cos( ) ( ) 1sin( )

( ) sin( ) ( ) 1cos( )

( ) 1 tan 1

cos ( ) ^x

f x F x k ou

x x

f x F x x k

x

f x x F x x k

f x x F x x k

f x ax b F x ax b k

a

f x ax b F x ax b k

a

f x x F

x f x e

+∞

= = − + − ∞ +∞

= = + +∞

= = +

= = − +

= + = + +

= + = − + +

= + =

=

ℝ ℝ ℝ ℝ ( ) tan

] ; [

2 2

( ) ^x

x x k

n n n

F x e k

π π π π

= +

− + + ∈

= +

ℤ ℝ

1

Fonction Primitive Intervalle

' ; 1 ; définie sur

1

' 1 1

; et 1 ne s'annule pas sur

1

' ln( ) 0 sur

' définie

b) Primitive et composée

sur :

n

n n

u u

f F I

u u n un k k u I

n

u n n k u I

u n u

u u k u I

u

u e e k u I

−

∈ + + ∈

+

∈ ≠ − × +

−

+ >

+

ℕ ℝ

ℕ

[ ]

Soit une fonction continue sur l'intervalle [ ; ] et une primit II) Intégrale et primitive

1)

ive de su Propriété:

r [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a

f a b F f a b

f x dx= F x =F b −F a

∫

Soit une fonction continue sur [ ; ], ( ) ( ) est l'unique primitive de qui s'annule en on a '( ) ( ) et ( ) 0

( ) ( ) ( ) donc si on prend on a : ( émonstration

) (

:

x a

x b

a a

f a b F x f t dt f a

F x f x F a

F x F a f t dt x b f t dt F

D

=

= =

− = = =

∫

∫ ∫

^{b)−F a( )}

Propriété: Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle de dérivées ' et ' continues sur , Pour tous réels et de , o

2) Intégration par pa

n a:

rtie

s:

u v I u v I

a b I

[ ]

^b ( ) '( ) ( ) ( ) ^b_a ^b '( ) ( )

au x ×v x dx= u x ×v x − au x ×v x dx

∫ ∫

et sont dérivables, donc la fonction ( ) est dérivanle comme produit de fonctions dérivables et :

( ) ' ' ' ' ( ) ' '

En pas Démonstra

sant à l' t

intégrale des deux membres, on o

bti n:

o i

u v u v

u v u v u v u v u v u v

×

× = × + × ⇔ × = × − ×

[ ]

b b b

a a a

ent le résultat donné:

' ^b( ) ' ' ^b_a '

u v dx× = a u v dx× − u×vdx= ×u v − u×vdx

∫ ∫ ∫ ∫

Exercices d’application :

1

3 3 4

4 2

2

1) Déterminer les primitives des fonctions suivantes:

2 5 1

( ) sur ]0; [. ( ) 0. ( ) cos . ( ) 5 1.

2) Déterminer la primitive qui s'annule en de la fonction ( ) tan ] ; [

4 2 2

3)

f x f x e xx f x x f x x x

x x x

f x x x

π π π

= − +∞ = > = = +

= ∈ −

1 1

1 4

-1 2 2

4

3

0 0

Justifier l'existence de l'intégrale, puis la calculer dans chaque cas:

1 2 1

; ; .

2 3 2

4) Intégration par parties:

a) Calculer: sin ; cos ) Déterminer la primi

t

x

e x

dx dt dx

x t x x

t tdt x e dx

b

π π

−

−

−

+ −

×

∫ ∫ ∫

∫ ∫

tive s'annulant en de la fonction logarithme népérien.e Si est continue et positive sur l'intervalle [ ; ], l'aire de la surface plane, ensemble des poi

3) Ap

nts

plications: Calcul d'aire

( ; ) tel

de surfaces

s que:

et 0 ( ) est

pl

é

es

g

an

f a b

M x y

a≤ ≤x b ≤ ≤y f x ale en u.a, à: ( ) .

Si est continue et négative sur l'intervalle [ ; ], l'aire de la surface plane, ensemble des points ( ; ) tels que:

et ( ) 0 est égale en u.a, à: ( ) .

b a

b a

f x dx

f a b

M x y

a≤ ≤x b f x ≤ ≤y − f x dx

∫

∫

Si et sont deux fonctions continues sur l'intervalle [ ; ] telle que: ( ) ( ) l'aire de la surface plane, ensemble des points ( ; ) tels que:

f g a b f x g x

M x y

≤

( )