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Calcul Intégral

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Université d’Eleuthéria-Polites République de Poldévie

Cours de Licence— Maths/Phy-Chi/EI —/

Bruno Deschamps Version.

« Pour chaque problème complexe, il exie une solution simple, diree... et fausse ».



Table des matières

 Intégrale de Riemann 

. Introduion . . . 

. Intégrales et primitives . . . 

. Méthodes de calcul . . . 

.. Intégration par parties . . . 

.. Changement de variables . . . 

. Primitives usuelles . . . 

. Longueur d’une courbe . . . 

 Intégrale double et curviligne 

. Intégrale double . . . 

.. Introduion . . . 

.. Propriétés . . . 

.. Théorème de Fubini . . . 

.. Changement de variables . . . 

. Intégrale curviligne . . . 

.. Définitions, propriétés . . . 

.. Indépendance des chemins . . . 

.. Théorème de Green-Riemann . . . 

 Intégrale triples et de surface 

. Intégrale triples . . . 

. Intégrale de surface . . . 



 Intégrale de Riemann

. Introduion

On cherche à donner un sens à la notion "d’aire". Plus précisément, on se donne une application f :I −→Rdéfinie et continue sur un intervalleI et pour touta, b∈I,a≤b, on veut introduire une quantité réelle qui mesurerait intuitivement l’aire (algébrique) comprise entre la courbey=f(x) pour x∈[a, b] et l’axe des abscisses.

Si l’on note Aire(f , a, b) cette quantité, l’idée intuitive que l’on se fait de l’aire nous pousse à con- sidérer les propriétés suivantes :

(P₁) Sif econante égale àλ∈Rsur [a, b], alors Aire(f , a, b) =λ(b−a) (aire d’un reangle).

(P2) Sic∈[a, b] alors Aire(f , a, b) = Aire(f , a, c) + Aire(f , c, b).

(P₃) Sif , g∈C⁰([a, b],R) etλ∈Ralors Aire(λf +g, a, b) =λAire(f , a, b) + Aire(g, a, b).

(P₄) Sif , g∈C⁰([a, b],R) sont telles quef ≤g, alors Aire(f , a, b)≤Aire(g, a, b).

On peut montrer qu’étant donné deux réelsa≤b, il exie une unique applicationC⁰([a, b],R)−→

Rqui à une fonionf associe Aire(f , a, b) et qui vérifie les propriétés (P1), (P2), (P3) et (P4). La quantité Aire(f , a, b) s’appelle l’intégrale de Riemann de la fonionf sur le segment [a, b] et se note

Zb a

f(x)dx.

La définition de l’intégrale sur [a, b] demande à ce quea ≤ b. Il e pratique de convenir que lorsqueb≤a, on a

Zb a

f(x)dx=− Za

b

f(x)dx. Avec cette convention, les propriétés fondamentales de l’intégrale s’énonce de la manière suivante : soientI un intervalle, f , g:I −→R deux applications continues etλ∈R,

(P₁) Pour tousa, b∈I, Zb

a

λdx=λ(b−a).

(P₂) Pour tousa, b, c∈I, Zb

a

f(x)dx= Zc

a

f(x)dx+ Zb

c

f(x)dx(Relation de Chasles).

(P₃) Pour tousa, b∈I, Zb

a

λf(x) +g(x)dx=λ Zb

a

f(x)dx+ Zb

a

g(x)dx.

(P4) Pour tousa, b∈I, sif ≤gsur [a, b], alors Zb

a

f(x)dx≤ Zb

a

g(x)dxsia≤bet Z b

a

f(x)dx≥ Zb

a

g(x)dx sia≥b.

Corollaire.—Soienta≤b. Pour toute fonion continuef : [a, b]−→R, on a

Z b a

f(x)dx

≤ Zb

a

|f(x)|dx

Preuve : Pour toutx∈[a, b], on a−|f(x)| ≤f(x)≤ |f(x)|et donc,−Rb

a |f(x)|dx≤Rb

af(x)dx≤Rb

a|f(x)|dx, ce qui équivaut à l’énoncé.

——–

L’unicité de l’intégrale découlera du théorèmeque l’on démontrera dans le paragraphe suivant.

L’exience de l’intégrale e plus délicate à montrer. Nous allons décrire ici l’idée originale de sa conruion.

On se donne a < b deux réels et f une application continue sur [a, b]. On considère alors les subdivisions du segment [a, b], c’e-à-dire les suites finieσ :σ0<· · ·< σn telles quex0 =aetxn=b (n≥ 1 e variable). Le réel π(σ) = sup_i=1,···,n(σi −σi−1). Pour une telle subdivision σ, on appelle pointagedeσ la donnée denréelsξ= (ξ1,· · ·ξn) vérifiantξi∈[σi−1, σi] pour touti= 1,· · ·, n. La donnée

 du couple (σ , ξ), s’appelle unesudivision pointéede [a, b]. A cette subdivision pointée, on associe la somme de Riemannrelative à la fonionf :

R_{(σ ,ξ)}(f) = Xn

i=1

(σ_i−σ_i−1)f(ξ_i)

On peut alors montrer qu’il exie un réelItel que, pour toutε >0, il exie un réelα >0, tel que pour toute subdivision pointée (σ , ξ) de [a, b] on ait

π(σ)< α=⇒

I−R_{(σ ,ξ)}(f) < ε Le réelI ealors précisément l’intégrale

Z b a

f(x)dx recherchée et l’on voit alors pourquoi il corre- spond à l’idée intuitive que l’on se fait de l’aire sous la courbe de la fonionf.

Une conséquence de cette propriété eque, si (σ_n, ξ_n)_ndésigne une suite de subdivisions pointées de [a, b] telle que lim_nπ(σ_n) = 0 alors

limn R_(σn,ξ

n)(f) = Zb

a

f(x)dx

En application de ce dernier résultat, pour un entiern≥1 donné, on considère la subdivision à pas régulierσ :σ0<· · ·< σn de [a, b] définie parσk =a+k^b−_n^a pourk= 0,· · ·, n. Des choix particulier de pointages, donne alors lessommes de Riemann inférieures (resp. supérieures, resp. médianes) à pas régulier:

R^inf_n(f) = (b−a) n

n−1

X

k=0

f a+kb−a n

!

R^supn (f) = (b−a) n

n

X

k=1

f a+kb−a n

!

R^med_n (f) = (b−a) n

n−1

X

k=0

f a+ (2k+ 1)2(b−a) n

!

Exemple :On a ln(2) =

Z1 0

dx x+ 1= lim

n

1 n

n−1

X

k=0

1

1 +k/n= lim

n n−1

X

k=0

1

n+k= lim

n

1 n+ 1

n+ 1+· · ·+ 1 2n−1

 .  Intégrales et primitives

Théorème.—SoientI un intervalle ouvert deR,f :I →Rune fonion continue etaun point deI. Si l’on définit la fonionF, pourx∈Ipar

F(x) = Z x

a

f(t)dt alors la fonionFedérivable surIetF⁰(x) =f(x).

En particulier, l’application F e une primitive de la fonion f : c’e l’unique primitive de f qui s’annule ena.

Preuve :Soitx₀∈I. Puisquef econtinue enx₀, pour toutε >0, il exieα >0 tel que

∀t∈]x₀, x₀+α[|f(t)−f(x₀)|< ε Ainsi, commeF(x)−F(x0) =

Z_x

x₀

f(t)dt, pour toutx∈]x0, x0+α[ on a

f(x₀)−ε= 1 x−x0

Z_x

x₀

(f(x₀)−ε)dt <F(x)−F(x₀) x−x0 < 1

x−x0

Z_x

x₀

(f(x₀) +ε)dt=f(x₀) +ε



ce qui assure queFedérivable enx₀et queF⁰(x₀) =f(x₀).

——–

Corollaire.—SoientI un intervalle ouvert deR,f :I →Rune fonion continue eta∈I. SiFdésigne une primitive def surI, alors il exie une conanteCtelle que, pour toutx∈I,F(x) =Rx

a f(t)dt+C. En particulier, pour toutb∈I, on a

Z b a

f(x)dx=F(b)−F(a)

Notation :Pour une fonion continuef sur un intervalleI, on note Z

f(x)dxune primitive def sur F. Parfois, siF désigne une primitive def, on notera

Z

f(x)dx=F(x) +CavecC∈Rpour rappeler que toutes les primitives def surIdiffère d’une conante.

Exemples : Sif :I −→Rdésigne une fonion continue etu:J −→I une application de classe C¹, alors en notantFune primitive def surI, on voit que (F◦u)⁰(x) =f ◦u(x).u⁰(x), de sorte que

Z

f ◦u(x).u⁰(x) =F◦u(x) +C Par exemple :

a) Siu e de signe conant et non nul sur J, on a

Z u⁰(x)

u(x)dx = ln(u(x)) +C. Ainsi, sur ]0,+∞[, Z 1

xlnxdx= ln(ln(x)) +C.

b) Siue riement positive surJeta∈R− {0,1}, on a Z

u⁰(x)u(x)^adx=u(x)^a+1

a+ 1 +C. Ainsi, sur ]0, π[, Z

cos(x) sin(x)²dx=sin(x)³ 3 +C.

c) SurJ, on a Z

u⁰(x)e^u(x)dx=e^u(x)+C. Ainsi, Z

(1 + lnx)x^xdx=x^x+C.

 .  Méthodes de calcul

.. Intégration par parties

Théorème.—(Formule d’intégration par parties) Soientf , g : [a, b]→Rdeux applications de classe C¹. On a

Z b a

f(x)g⁰(x)dx= [f(x)g(x)]^b_a− Z b

a

f⁰(x)g(x)dx où[f(x)g(x)]^b_a=f(b)g(b)−f(a)g(a).

Preuve :

——–

Application au calcul des primitves : Z

f(x)g⁰(x)dx=f(x)g(x)− Z

f⁰(x)g(x)dx+C. Par exemple, sur I=]0,+∞[,

Z

lnxdx=xlnx− Z

dx+C=xlnx−x+C SurI=R,

Z

arctanxdx=xarctanx− Z x

1 +x²dx+C=xarctanx−1

2ln(1 +x²) +C



.. Changement de variables

Théorème.—Soient f : [a, b]→R une fonion continue etϕ[c, d]→[a, b]une fonion continument dérivable. On a

Z ϕ(d) ϕ(c)

f(t)dt= Zd

c

f ◦ϕ(x)ϕ⁰(x)dx (On dit que l’on a opéré le changement de variablet=ϕ(x))

Preuve :SoitF une primitive def. La fonionf ◦ϕ.ϕ⁰ econtinue et admetF◦ϕpour primitive.

En appliquant le corollaire, on a donc Zd

c

f ◦ϕ(x)ϕ⁰(x)dx=F◦ϕ(d)−F◦ϕ(c) =F(ϕ(d))−F(ϕ(c)) = Zϕ(d)

ϕ(c)

f(t)dt

——–

Corollaire.—Soitf : [a, b]→Rune fonion continue,Iun intervalle etϕ:I→RunC¹-difféomorphisme (i.e. une bijeion de classeC¹telle que sa réciproque soitC¹) tel que[a, b]⊂ϕ(I), alors

Zb a

f(t)dt=

Z ϕ⁻¹(b) ϕ⁻¹(a)

f ◦ϕ(x)ϕ⁰(x)dx

Preuve : C’e une application diree du résultat précédent, en remarquant quef ◦ϕ et ϕ⁰ sont continues et queϕ étant un difféomorphisme, c’e en particulier un homéomorphisme, donc que ϕ([ϕ⁻¹(a), ϕ⁻¹(b)]) = [a, b].

——–

Remarques.—Il egénéralement pratique de poser "à l’envers" le changement de variable, c’e-à- dire de poser par exemplex=ψ(t). Il ealors commode, pour s’y retrouver, de différentier formelle- mentdx=ψ⁰(t)dtet de rechercher à exprimer simplementψ⁰(t) en fonion dex.



 .  Primitives usuelles

Fonionf(x) Intervalle PrimitiveF(x)

e^axaveca∈C^∗ R e^ax a +C

ch(ax) aveca∈R^∗ R sh(ax) a +C

sh(ax) aveca∈R^∗ R ch(ax) a +C

cos(ax) aveca∈R^∗ R sin(ax) a +C

sin(ax) aveca∈R^∗ R −cos(ax)

a +C

x^aaveca∈R/{−1} ]0,+∞[ x^a+1 a+ 1+C



Fonionf(x) Intervalle PrimitiveF(x)

1

x²+a² aveca∈R^∗+ R 1

aarctan x

a

+C

√ 1

a²−x² aveca∈R^∗+ ]−a, a[ arcsin x

a

+C

√ 1

a²+x² aveca∈R^∗+ R argsh x

a

= ln x+

√ x²+a²

√ 1

x²−a² aveca∈R^∗+ ]−a,+∞[ argch x

a

= ln

|x+

√

x²−a²|

√ 1

x²−a² aveca∈R^∗+ ]− ∞,−a[ −argch −x

a

= ln

|x+

√

x²−a²|

1

a²−x² aveca∈R^∗+ ]− ∞,−a[; ]a,+∞[ 1

2aln |x+a|

|x−a|

! +C

1

a²−x² aveca∈R^∗+ ]−a, a[ 1

2aln |x+a|

|x−a|

!

+C=1 aargth

x a

+C

Fonionf(x) Intervalle PrimitiveF(x)

tan(x) ]−π

2+kπ,π

2 +kπ[ −ln (|cos(x)|) +C 1

sin(x) ]kπ,(k+ 1)π[ −ln

tan x

2

+C

1

cos(x) ]−π

2+kπ,π

2 +kπ[ −ln

tan π

4 +x 2

+C

1

sh(x) ]0,+∞[; ]− ∞,0[ −ln

th x

2

+C

1

ch(x) R 2 arctan(e^x) +C



Fonionf(x) Intervalle PrimitiveF(x)

ln(x) ]0,+∞[ xln(x)−x+C

arctan(x) R xarctan(x)−ln√

1 +x² +C

arcsin(x) ]−1,1[ xarcsin(x)−

√

1−x²+C

arcsin(x) ]−1,1[ xarccos(x) +

√

1−x²+C

argsh(x) R xargsh(x)−

√

1 +x²+C

argch(x) [1,+∞[ xargch(x)−

√

x²−1 +C

argth(x) ]−1,1[ xargth(x) + ln√ 1−x²

+C

 .  Longueur d’une courbe

On considère une applicationf : [a, b]−→Rde classeC¹. Par définition, la longueur de la courbe C={(x, f(x))/ x∈[a, b]}e la limite de la somme des longueurs des cordes reliant la courbe sur la subdivision à par régulier de [a, b] :

`(C) = lim

n n−1

X

k=0

s b−a

n

!2

+ f a+ (k+ 1)(b−a) n

!

−f a+k(b−a) n

!!2

Puisquef esupposée de classeC¹, en application du théorème des accroissements finis, pour tout k= 0,· · ·, n−1, il exiec_k∈]a+k^(b−_n^a), a+ (k+ 1)^(b−_n^a)[ tel que

f a+ (k+ 1)(b−a) n

!

−f a+k(b−a) n

!

=(b−a) n f⁰(ck) Ainsi, on a

n−1

X

k=0

s b−a

n

!2

+ f a+ (k+ 1)(b−a) n

!

−f a+k(b−a) n

!!2

=b−a n

n−1

X

k=0

b−a n

q

1 +f⁰(c_k)²=R_n,σn(f⁰)

oùσnele pointagec0,· · ·, cn−1. On en déduit que

`(C) = lim

n R_n,σn( q

1 +f⁰²) = Z b

a

q

1 +f⁰(x)²dx Exemple : Un demi cercleC de rayonReassocié à la fonionf(x) =

√

R²−x² définie sur [−R, R].

Ainsi, on a

`(C) = ZR

−R

r

1 + x²

R²−x²dx=R ZR

−R

√ dx R²−x²



Le changement de variablesx=Rsint, donne alors

`(C) =R Z π/2

−π/2

Rcostdt

√

R²−R²sin²t =R Zπ/2

−π/2

dt=πR Ainsi, le périmètre d’un cercle entier de rayonRvaut 2πR.

Dans le cas des courbesCparamétrées par (x(t), y(t)/ t∈[a, b]) avecx, ydes fonions de classeC¹, on montre avec les mêmes arguments que

`(C) = Zb

a

q

x⁰(t)²+y⁰(t)²dt

 Intégrale double et curviligne

 .  Intégrale double

.. Introduion

Définitions.—a) Un pavé deR²eune partie de la forme P = [a, b]×[c, d]

oùa≤betc≤ddésignent des réels. L’intérieur deP ela partie

◦

P=]a, b[×]c, d[. La mesure (de Riemmann) ou aire deP epar définition le réel

µ(P) = (b−a)(d−c)≥0

b) Une partieD⊂R²edite pavable s’il exie une famille finie de pavésP = (P1,· · ·, Pn), appelée pavage de D, telle que

D= [

1≤i≤n

Pi

et telle que, pour touti,j,

◦

Pi∩

◦

Pj=∅. Le pas du pavage ealors π(P) = sup

i=1,···,n

µ(P_i)

On montre que, quel que soit le pavageP = (P1,· · ·, Pn)deD, le réelµ(D) =Pn

i=1µ(Pi)econant. C’e la mesure ou l’aire deD.

c) Une partieΩ⊂R²edite quarrable si, pour toutε >0, il exie deux parties pavablesD₁, D₂⊂R²telles queD₁⊂Ω⊂D₂etµ(D₂)−µ(D₁)< ε.

On montre alors que si(D_in)_n et(D_jn)_ndésignent deux suites de parties pavables deR²telles que, pour toutn≥0,D_in ⊂Ω⊂D_jn etlim_n(µ(D_in)−µ(D_jn)) = 0, alors il exie un réelµ(Ω)(indépendant du choix des suites(D_in)_n et(D_jn)_n vérifiants ces conditions) tel quelim_nµ(D_in) = lim_nµ(D_jn) =µ(Ω). Le réelµ(Ω) eappelé la mesure ou l’aire deΩ.

Définitions.—SoientD⊂R²une partie pavable etf :D−→Rune application. SiP1,· · ·, Pndésigne un pavage deDetξ1,· · ·, ξndésignent des éléments deR²vérifiant que pour touti= 1,· · ·, n, on aξi∈Pi alors la donnée(P , ξ) = (P₁,· · ·, P_n, ξ_n,· · ·, ξ_n)s’appelle un pavage pointé deD. La somme de Riemann sur(P , ξ) associée à la fonionf e, par définition, le réel

R_{(P ,ξ)}(f) = Xn

i=1

µ(P_i)f(ξ_i)



Définition.—SoientΩ⊂R² une partie quarrable etf :Ω−→R une application. On dit quef e intégrable (au sens de Riemann) surDs’il exie un réelItel que pour toutε >0il exieα >0tel que pour toute partie pavableD⊂Ωet tout pavage pointé(P , ξ)deDon ait

µ(Ω)−µ(D)< αetπ(P)< α=⇒

R(P ,ξ)(f)−I < ε Le réelI ealors noté

ZZ

Ω

f(x, y)dxdyet appelé intégrale double def surΩ.

On voit donc qu’à l’inar de l’intégrale simple et des aires, l’intégrale double mesure le volume algébrique de la partie de l’espaceR³délimité par la partieΩet les valeurs de la fonionf sur cette partie.

Théorème.—Toute fonion continue sur une partie quarrable eintégrable.

.. Propriétés

En utilisant les sommes de Riemann on montre que l’intégrale double vérifie les mêmes notions fondamentales que pour l’intégrale simple :

Proposition.—SoientΩ⊂R²une partie quarrable,f , g:Ω−→R deux fonions intégrables,λ∈R, Ω₁,Ω₂⊂Ωdeux parties quarrables telles queΩ₁∪Ω₂=Ωet

◦

Ω₁∩

◦

Ω₂=∅. On a (P1)

ZZ

Ω

λdxdy=λµ(Ω). En particulier, ZZ

Ω

dxdy=µ(Ω) = Aire(Ω).

(P2) ZZ

Ω

f(x, y)dxdy= ZZ

Ω₁

f(x, y)dxdy+ ZZ

Ω₂

f(x, y)dxdy(Relation de Chasles).

(P₃) ZZ

Ω

(λf +g)(x, y)dxdy=λ ZZ

Ω

f(x, y)dxdy+ ZZ

Ω

g(x, y)dxdy (P₄)Sif ≤gsurΩalors,

ZZ

Ω

f(x, y)dxdy≤ ZZ

Ω

g(x, y)dxdy.

.. Théorème de Fubini

Théorème-Définition.—SoitD⊂R². S’il exie deux applications continuesϕ, ψ: [a, b]−→R(resp.

ϕ, ψ: [c, d]−→Rtelles que

D=n

(x, y)∈R²/ a≤x≤b, ϕ(x)≤y≤ψ(x)o resp. D=n

(x, y)∈R²/ c≤y≤d, ϕ(y)≤x≤ψ(y)o alorsDequarrable. Une telle partieDealors dite "continûment paramétrable".

Exemples.—/ Pavé.

/ Triangle.

/ Interseion de deux cercles.

Théorème.—(Fubini)Avec les notations du théorème, sif :D−→Rdésigne une application con- tinue alors

ZZ

D

f(x, y)dxdy= Z b

a







 Zψ(x)

ϕ(x)

f(x, y)dy







dx







resp.

ZZ

D

f(x, y)dxdy= Z d

c







 Z ψ(y)

ϕ(y)

f(x, y)dx







dy











Corollaire.—SiD= [a, b]×[c, d]désigne un pavé alors, pour tout application continuef :D−→R, on a

ZZ

D

f(x, y)dxdy = Z _b

a

Z_d

c

f(x, y)dydx

= Z d

c

Zb a

f(x, y)dxdy

En particulier, sif(x, y) =F(x)G(y)oùF: [a, b]−→RetG: [c, d]−→Rsont des applications continues, alors

ZZ

D

f(x, y)dxdy= Zb

a

F(x)dx.

Zd c

G(y)dy Exemples.—/ZZ

D

(x²+y²)dxdyoùDdésigne le domaine de l’exemple-.

/ Calcul de l’aire du domaineDde l’exemple-.

/ Volume d’une pyramide.

.. Changement de variables

Définitions.—SoientD, D⁰ ⊂R² deux ouverts. On appelleC¹-difféomorphisme deD⁰ versD, toute application bijeive θ : (u, v)7−→(h(u, v), k(u, v))deD⁰ versD telle que θ et θ⁻¹ possèdent des dérivées partielles continues.

La matrice jacobienne deθau point(u0, v0)∈D⁰ealors la matrice













∂h

∂u(u₀, v₀) ∂h

∂v(u₀, v₀)

∂k

∂u(u₀, v₀) ∂k

∂v(u₀, v₀)













et l’on appelle jacobienθau point(u₀, v₀)∈D⁰ le déterminantJ_θ(u₀, v₀)de cette matrice (i.e. J_θ(u₀, v₀) =

∂h

∂u(u₀, v₀).∂k

∂v(u₀, v₀)−∂h

∂v(u₀, v₀).∂k

∂u(u₀, v₀)).

Théorème.—(Changement de variables)SoientK un compaquarrable etΩdeR²tels queK⊂Ω.

Siθ:Ω−→R² désigne une application de classeC¹ telle queθ

|

◦

K soit unC¹-difféomorphisme deK^◦ sur θ(

◦

K), alors

/θ(K)eune partie quarrable.

/

ZZ

θ(K)

f(x, y)dxdy= ZZ

K

f ◦θ(u, v).|J_θ(u, v)|dudv

La formule du/ ela formule de changement de variables. Siθ(u, v) = (h(u, v), k(u, v)), compte- tenu du fait quef ◦θ(u, v) =f(h(u, v), k(u, v)), on dit généralement que l’on a opéré le changement de variables

( x=h(u, v) y=k(u, v) .

Applications .— / (Changement de variables en polaire). Il s’agit de l’application (ρ, θ) 7−→

(ρcosθ, ρsinθ). On a alors

J(ρ, θ) =

cosθ −ρsinθ sinθ ρcosθ

=ρ Exemples :a) Aire d’un cercle.

b) Calcul deI= ZZ

D

(x+y)²

x²+y²+ 2dxdyoùD=n

(x, y)∈R²/ x²+y²≤1o .



/ (Aire d’un seeur curviligne). On considère une application continuef : [θ₁, θ₂]−→R⁺où 0≤ θ₁≤θ₂et

D⁰=n

(ρ, θ)∈R²/ θ₁≤θ≤θ₂,0≤r≤f(θ)o

Leseeur curviligneDdéfini par l’applicationf epar définition l’image de la partieD⁰par l’application (ρ, θ)7−→(ρcosθ, ρsinθ). On a alors

Aire(D) = ZZ

D

dxdy= ZZ

D⁰

ρdρdθ= Zθ₂

θ₁

Z f(θ) 0

ρdρdθ=1 2

Zθ₂ θ₁

f(θ)²dθ Exemples :a) Aire d’un cercle.

b) Aire d’une spirale logarithmiquef(θ) =e^θ.

/ (Volume d’une surface de révolution). On considère le seeur curviligneDdéfini par une applica- tionf : [0,2π]−→R⁺et∆le domaine délimité par les segments d’extrémités un pointA(0,0, h) fixé et les points du bord deD. On voit que

∆=n

(x, y, z)∈R³/(x, y)∈D,0≤z≤F(x, y)o

oùFvérifie, pour tous (ρ, θ) tel que 0≤ρ≤f(θ),F(ρcosθ, ρsinθ) =h^f_f^(θ)_(θ)^−ρ. Ainsi, en effeuant un changement de variables en polaire, on a

V olume(∆) = ZZ

D

F(x, y)dxdy= Z2π

0

Z f(θ) 0

F(ρcosθ, ρsinθ).ρdρdθ= Z 2π

0

Zf(θ) 0

hf(θ)−ρ f(θ) ρdρdθ

= Z2π

0

h f(θ)

Zf(θ) 0

(f(θ)ρ−ρ²)dρdθ= Z2π

0

h f(θ)

"

f(θ)ρ² 2 −ρ³

3

#f(θ) 0

dθ= Z2π

0

h f(θ)

f(θ)³ 6 dθ

= h

3 1 2

Z2π 0

f(θ)²dθ

!

=h.Aire(D) 3

 .  Intégrale curviligne

.. Définitions, propriétés

On rapporte le plan euclidienP à une base orthonormée diree (→− i ,→−

j).

Définitions.—Un chemin deP eune application veorielleγ: [a, b]−→P que l’on supposera le plus souvent implicitement de classeC¹, autrement dit, si pourt∈[a, b]donné on poseγ(t) =x(t)→−

i +y(t)→− j, les fonionsx, y: [a, b]−→Rseront supposées de classeC¹.

Lorsqueγvérifieγ(a) =γ(b), on dit queγeun "lacet".

L’imageC=γ([a, b])⊂P eappelée "courbe géométrique" associée au cheminγ. Les fonions(x(t), y(t)) sont alors une paramétrisation deC.

Siγ: [a, b]−→P eun chemin, le chemin opposéγ^o : [a, b]−→P edéfini, pourt∈[a, b], parγ^o(t) = γ(a+b−t).

Siγ₁ : [a, b]−→P et γ₂ : [b, c]−→P sont deux chemins vérifiantγ₁(b) =γ₂(b), le "recollement" des cheminsγ1etγ2ele cheminγ1∨γ2: [a, c]−→P défini, pourt∈[a, b], parγ1∨γ2(t) =γ1(t)et, pour t∈[b, c],γ1∨γ2(t) =γ2(t).

Définitions.—Un champ de veeurs eune application continue→−

F :Ω−→P oùΩdésigne un ouvert deR². Ainsi, si l’on pose pour(x, y)∈Ω,→−

F(x, y) =P(x, y)→−

i +Q(x, y)→−

j , les applicationsP , Q:Ω−→Rsont continues. Le champ→−

F sera dit différentiable si les applicationsP etQle sont (e.g. P etQont des dérivées partielles continues).

La notationP(x, y)dx+Q(x, y)dys’appelle "la forme différentielle" associée à→− F.



Définitions.—Soient→−

F :Ω−→P un champ de veeurs et γ: [a, b]−→Ωun chemin (i.e. γ(t) = (x(t), y(t))∈Ωpour toutt∈[a, b]). SiP(x, y)dx+Q(x, y)dydésigne la forme différentielle associée à→−

F, on appelle "intégrale curviligne" du champ→−

F le long du cheminγ, l’intégrale simple Z

γ

P(x, y)dx+Q(x, y)dy= Zb

a

P(x(t), y(t))x⁰(t) +Q(x(t), y(t))y⁰(t) dt

Proposition.—SoientP(x, y)dx+Q(x, y)dy une forme différentielle sur un ouvertΩetγ, γ1, γ2 trois chemins à valeurs dansΩtels queγ1∨γ2exie. On a

Z

γ^o

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=− Z

γ

P(x, y)dx+Q(x, y)dy

et Z

γ₁∨γ₂

P(x, y)dx+Q(x, y)dy= Z

γ₁

P(x, y)dx+Q(x, y)dy+ Z

γ₂

P(x, y)dx+Q(x, y)dy

Interprétation physique :Si→−

F représente un champ de forces et −→ dl =dx→−

i +dy→−

j représente un dé- placement infinitésimal élémentaire, le produit scalaire→−

F .−→

dl vaut doncP dx+Qdyet ainsi l’intégrale curviligne

Z

γ

P(x, y)dx+Q(x, y)dyreprésente le travail effeué par la force→−

F le long du cheminγ.

Par exemple, considérons le champ de forces→−

F(x, y) =−y→− i +x→−

j. On calcule le travail de ce champ de force sur les cheminγ₁:y=xetγ₂:y=x²pourx∈[0,1].

.. Indépendance des chemins

Définitions.—On dit d’un champ de veeur différentiable→−

F =P(x, y)→−

i +Q(x, y)→−

j qu’il dérive d’un potentiel, s’il exie une applicationf : (x, y)7−→f(x, y)de classeC² telle quegrad(f) =→−

F (i.e. ^∂f_∂x =P et

∂f

∂y =Q).

Exemple:→−

F(x, y) =^y_x²→−

i + 2ylogx→− j (x >0).

Théorème.—Un champ de veeur différentiable→−

F =P(x, y)→−

i +Q(x, y)→−

j dérive d’un potentiel si et seulement la forme différentielleP(x, y)dx+Q(x, y)dyefermée (i.e. ^∂P_∂y =^∂Q_∂x).

Théorème.—Si un champ de veeur différentiable→−

F =P(x, y)→−

i +Q(x, y)→−

j dérive d’un potentielf alors, pour tout cheminγde classeC¹d’origineAet d’extrémitéB, on a

Z

γ

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=f(B)−f(A)

En particulier, si de plusγeun lacet alors Z

γ

P(x, y)dx+Q(x, y)dy= 0.

.. Théorème de Green-Riemann

Pour un domaineD⊂R²continûment paramétrable, on notera∂⁺Dune paramétrisation injeive du "bord" deDqui "tourne" dans le sens trigonométrique dire. Par exemple, siD={(x, y)∈R²/ x²+ y²≤R}désigne le disque de centre (0,0) et de rayonR >0 alors le bord deD(qui ele cercle associé) peut-être paramétré par∂⁺D(t) = (Rcost, Rsint) avect∈[0,2π].

Théorème.—(Green-Riemann)SoientD⊂R²un domaine continûment paramétrable etP , Q:D−→R deux applications de classeC¹. On a

Z

∂⁺D

P(x, y)dx+Q(x, y)dy= ZZ

D

∂Q

∂x(x, y)−∂P

∂y(x, y)

! dxdy



Exemple :Calcul deR

∂⁺D(x²−y)dx+ (x+y)dyoùD= [−1,1]×[−2,2].

Corollaire.—SiD⊂R²eun domaine continûment paramétrable, alors Aire(D) =

Z

∂⁺D

xdy= Z

∂⁺D

−ydx

Exemple : (Aire d’une ellipse) On considère la région du plan délimitée par l’ellipseE d’équation

x²

a²+^y_b²2 = 1.

 Intégrale triples et de surface

. Intégrale triples

 .  Intégrale de surface