Calcul intégral

1

El Amine

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O; i,j).

A) Intégrale d’une fonction continue et positive.

1

- Aire et intégrale.

Définition

Soit ^f une fonction continue et positive sur un intervalle

 

^{a b; , et}

(C )f sa courbe représentative.

Le réel noté ^b

a f(x)dx



, appelé « intégrale de a à b de ^f », est l’aire, en unités d’aire, du domaine D limité par l’axe des abscisses, la courbe (C )_f et les droites d’équations x = a et x = b.

 

D = M(x;y) : a x b et 0 y f(x)

Remarques

a et b sont les bornes de l’intégrale.

x est une variable « muette » : elle peut être remplacée par n’importe quelle lettre à l’exception de a et b.

2

- Valeur moyenne d’une fonction continue et positive.

Définition

Soit ^f une fonction continue et positive sur un intervalle

 

^{a b; .}

On appelle valeur moyenne de ^f sur

 

^{a b;} le réel : ^b

a

μ 1 f(x)dx

b - a





^.

2

El Amine

Interprétation graphique ^b

μ(b - a) =



a f(x)dx

^μ est la hauteur du rectangle de largeur



^{b - a}



et dont l’aire est égale à l’aire sous la courbe de ^f.

B) Extension aux fonctions de signe quelconque

Définition

Soit ^fune fonction continue sur un intervalle

 

^{a b; et} (C )f sa courbe représentative.

On définit l’intégrale de a à b de ^f de la manière suivante :

●

^{si f}est négative sur

 

^{a b;} alors

●

^{si f} a un signe quelconque sur

 

^{a b;} , alors ^b

a f(x)dx  aire (D)



●

^{si f}a un signe variable sur

 

^{a b;} alors

1 2 3

b

a f(x)dx aire (D )  aire (D )  aire (D )



Remarque

La définition de la valeur moyenne d’une fonction ^f continue sur un intervalle

 

^{a b;} , avec a < b, reste inchangée quel que soit le signe de ^f sur

 

^{a b;} .

C) Intégrale et primitive.

1

- Primitive s’annulant en a.

Théorème

Soit ^fune fonction continue sur un intervalle ^I et a un point de ^I. La fonction ^F définie sur ^I par ^x

F(x) =



af(t)dt est l’unique primitive de ^f sur ^I s’annulant en a.

3

El Amine

Exemple pour tout réel x > 0,

1

lnx = dt1



t Remarques

●

On ne peut pas employer la même lettre pour la borne variable x et la variable « muette » d’intégration ^t.

●

La fonction ^F définie ci-dessus est donc dérivable sur ^I et ^{F' = f} .

2

- Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive.

Théorème

Soit ^fune fonction continue sur un intervalle ^I et ^F une primitive quelconque de ^f sur ^I. Pour tous réels

a

_et

b

de ^I, on a :

b

a f(x)dx = F(b) - F(a)



Remarque : on utilise souvent la notation,



_a^bf(x)dx = F(x)

 

^b_a F(b) - F(a)

Conséquences

● 

_a^{af(x)dx = 0} et a b

bf(x)dx =  a f(x)dx

 

D) Propriétés de l’intégrale.

1

- Relation de Chasles.

Interprétation en termes d’aire lorsque ^f est continue et positive sur ^I, avec a b c. Si D est le domaine hachuré, alors

Aire(D) = Aire(D ) Aire(D )1  2

Soit f une fonction continue sur un intervalle^I. Pour tous réels a,b et c de ^I :

b

b c c

a f(x)dx + f(x)dx = af(x)dx

  

4

El Amine

Applications

●

^fest une fonction continue sur un intervalle contenant a et -a.

- Si ^fest paire sur



^{- a; + a}



, alors ^{+a a}

-a f(x)dx = 2 0f(x)dx

 

- Si

fest impaire sur



^{- a; + a}



^{, alors}

+a

-a f(x)dx = 0



●

^fest une fonction continue sur , périodique de période T.

- Pour tout réel a :

^{a + T T}

a f(x)dx = 0 f(x)dx

 

2

- Linéarité de l’intégrale.

3

- Signe de l’intégrale.

Soit ^fet ^g deux fonctions continues sur un intervalle ^I contenant a et b.

Pour tous réels α et ^β, on a :



_a^b



αf(x) + βg(x) dx = α f(x)dx + β g(x)dx

 

_a^b



_a^b

Soit ^fune fonction continue sur un intervalle ^I contenant les réels a et b tels que ab.

●

^{Si f}est positive sur

 

^{a; b , alors}



_a^{bf(x)dx 0.}

●

^{Si f}est négative sur

 

^{a; b} , alors ^b

a f(x)dx 0



^.

5

El Amine

4

- Intégration d’inégalités.

Soit ^f et ^g deux fonctions continues sur un intervalle ^I contenant les réels a et b tels que ab.

Si pour tout réel x de

 

^{a; b , f(x)g(x), alors}



_a^{bf(x)dx }



a^bg(x)dx

Interprétation en termes d’aire lorsque ^f et ^g sont continues et positives sur

 

^{a; b} :

Aire(D ) 1  Aire(D )2

⁵

- Inégalité de la moyenne.

Interprétation en termes d’aire lorsque ^f est continue et positive sur

 

^{a; b}

et si m0 :

l’aire du domaine sous la courbe de ^f (en vert) est comprise entre l’aire du petit rectangle (hachuré en rouge) et l’aire du grand rectangle

(entouré en bleu).

Soit ^f une fonction continue sur un intervalle ^I contenant les réels a et b, m et ^M deux réels.

●

^{Si ab} et si, pour tout x de

 

^{a; b} , mf(x)M, alors ^b

m(b - a) 



a f(x)dx  M(b - a)

●

Si, pour tout x de ^I, f(x) M, alors ^b

a f(x)dx  M b - a



^.

6

El Amine

E) Intégration par parties.

^Théorème

^Remarques

- Le théorème précédent sert à calculer une intégrale lorsqu’on ne connaît pas de primitive de la fonction à intégrer.

- L’intégrale ^b

a f(x)dx



peut s’écrire ^b

a1 f(x)dx



; ceci permet d’utiliser le théorème précédent pour calculer l’intégrale.

- Il est parfois nécessaire de faire plusieurs intégrations par parties successives.

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle ^I telles que leurs dérivées u' et v' soient continues sur ^I.

Pour tous réels a et b de ^I :

_a^b

 

^b _a^b

u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - a u'(x)v(x)dx

 