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Chap.18 :
CALCUL Intégral
I. Intégrale et primitive :
Théorème : lien entre intégrale et primitive
Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle 𝐼 et soit 𝑎 un élément de 𝐼.
La fonction 𝐹 définie sur 𝐼 par 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡),+ 𝑑𝑡 est la primitive de 𝑓 qui s’annule en 𝑎.
Démonstration : dans le cas où 𝑓 est croissante sur 𝐼.
Voir feuille d’exercices
Théorème : théorème fondamental de l’analyse
Soit 𝑓 une fonction continue dont une primitive est 𝐹 sur un intervalle 𝐼.
. 𝑓(𝑡)
/
, 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) Ce résultat ne dépend pas de la primitive choisie.
Les nombres a et b sont nommés bornes d’intégration.
Démonstration : soit 𝐺 la primitive de 𝑓 qui s’annule en 𝑎, alors 𝐹 = 𝐺 + 𝑘, 𝑘 réel d’où :
𝐹(𝑏) = 𝐺(𝑏) + 𝑘 et 𝐹(𝑎) = 𝐺(𝑎) + 𝑘. Par conséquent : 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐺(𝑏) − 𝐺(𝑎) = 𝐺(𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥),/ 𝑑𝑥
Remarque : on note :
. 𝑓(𝑡)/
,
𝑑𝑡 = [𝐹(𝑥)]𝑏
𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
Exemples : calculer les intégrales suivantes : 𝐼 = ∫ (𝑥:;9 7+ 4𝑥)𝑑𝑥
𝐽 = ∫ =𝑡 +;9 ;>−>;?@ 𝑑𝑡
𝐾 = ∫ 𝑥𝑒C; +?𝑑𝑥
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II. Intégration par parties :
Propriété : intégration par parties
On considère deux fonctions 𝑢 et 𝑣 dérivables sur un intervalle 𝐼 telles que 𝑢′ et 𝑣′ soient continues sur 𝐼.
Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels de 𝐼 avec 𝑎 < 𝑏. Alors : . (𝑢/ H𝑣)(𝑥)𝑑𝑥
,
= [𝑢𝑣(𝑥)]𝑏
𝑎−. (𝑏 𝑢𝑣′)(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
Démonstration : 𝑢 × 𝑣 est dérivable sur [𝑎; 𝑏] comme produit de fonctions dérivables sur [𝑎; 𝑏] et (𝑢 × 𝑣)H = 𝑢H𝑣 + 𝑢𝑣′
Donc, pour tout réel 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏], on a (𝑢 × 𝑣)H(𝑥) = (𝑢H𝑣 + 𝑢𝑣H)(𝑥).
𝑢 et 𝑣 sont dérivables donc continues sur [𝑎; 𝑏].
Par opérations de fonctions continues, 𝑢′𝑣, 𝑢𝑣′ et 𝑢H𝑣 + 𝑢𝑣′ sont aussi continues dans admettent des primitives.
Ainsi : ∫ (𝑢𝑣)′(𝑥)𝑑𝑥,/ = ∫ (𝑢,/ H𝑣)(𝑥)𝑑𝑥+ ∫ (𝑢𝑣′)(𝑥)𝑑𝑥,/
Soit [𝑢𝑣(𝑥)]/,= ∫ L𝑎𝑏 𝑢′𝑣M(𝑥)𝑑𝑥+∫ (𝑎𝑏 𝑢𝑣′)(𝑥)𝑑𝑥 donc, par linéarité de l’intégrale : . (𝑢/ H𝑣)(𝑥)𝑑𝑥
,
= [𝑢𝑣(𝑥)]𝑏
𝑎−. (𝑏 𝑢𝑣′)(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
Remarques :
• La propriété reste vraie si 𝑎 > 𝑏.
• Il est parfois utile de remarquer que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥,/ = ∫ 1 × 𝑓(𝑥)𝑑𝑥,/ pour effectuer une IPP en utilisant 𝑢′(𝑥) = 1.
Exemple : calcul de ∫ 𝑥𝑒:;C +𝑑𝑥 :
En posant 𝑢′(𝑥) = 𝑒+ et 𝑣(𝑥) = 𝑥 sur l’intervalle [−1; 0], on a 𝑢(𝑥) = 𝑒+ et 𝑣H(𝑥) = 1 Ainsi, par intégration par parties, on a :
. 𝑥𝑒C +𝑑𝑥
:;
= [𝑥𝑒𝑥] 0
−1−. 𝑒C +𝑑𝑥
:;
= 0𝑒C− (−1)𝑒:;− [𝑒𝑥] 0
−1= 𝑒−1−L𝑒0− 𝑒−1M= 𝑒−1− 1 + 𝑒−1= 2𝑒−1− 1 00 :00 - 04 :47
