Nom :
Classe : 2nde 4
Devoir surveillé n°2
le 13/11/2017
Note :
… / 20
Avis de l’élève Avis du professeur
Je sais : Oui Non Oui Non
Les formules du cours.
Refaire des exercices travaillés en classe (Exercices contrôlés n°1, 2 et 3) Calculer les coordonnées du milieu d'un segment.
Calculer une longueur.
Utiliser les propriétés classiques (Pythagore, Thalès, propriétés des quadrilatères, etc.) Développer / Réduire.
Calculer une image / Déterminer les antécédents éventuels d'un nombre.
Comprendre / Appliquer un algorithme.
Cours : Complète les théorème suivants : … / 2
Théorème 1 : Dans tout repère, les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont : = et : = …
Théorème 2 : Dans un repère ……… , la distance entre les points A et B est : =
Exercice contrôlé n°1 : Soient les points A(-1 ; 1), B(2 ; -1), C(-2 ; -4). … / 3 1. Compléter ci-dessous le repère orthogonal (O,I,J) et placer les points A, B et C.
(unités graphiques : 2 carreaux pour 1 u.l en abscisses et 1 carreau pour 1 u.l en ordonnées.)
2. Calculer les coordonnées du milieu M de [AC] puis placer M.
3. On note D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Placer D puis calculer ses coordonnées.
Exercice contrôlé n°2 : Soient les points A(-3 ; 5), B(2 ; -1) et C(-6 ; -2). … / 2 Parmi ces trois points, quels sont les deux points les plus éloignés ? Justifier la réponse.
Exercice contrôlé n°3 : Soient A(1 ; -2), B(-3 ; -4), C(-1 ; 2), D(3 ; 2) et E(5 ; 0). … / 3 1. Montrer que A est le milieu du segment [BE].
2. Montrer que les droites (BC) et (EC) sont perpendiculaires.
3. Montrer que AB = AD.
xI yI
AB
Exercice n°4 : … / 5 On considère la figure ci-dessous, dans le repère orthonormé (O;I,J).
1. Donner les coordonnées des points A, B, C et D.
2. On admet que le triangle ABC est rectangle et isocèle en B avec AB = BC = 5 et AC = . On note M le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à M. On donne M( ; ).
Sans calcul supplémentaire, justifier la nature complète du quadrilatère ABCD.
3. On note c le cercle de diamètre [AC]. Le point E(2 ; 3) appartient-il à c ? Justifier.
4. Le point F est tel que AF = 6 et CF = 4. Le triangle ACF est-il rectangle ? Justifier.
5. G est le point de [AB) tel que AG = 8. H est le point de [AC) tel que AH = . Les droites (GH) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.
Exercice n°5 : est la fonction définie sur R par = – . … / 5 1. a) Vérifier que, pour tout réel , on a =
b) Vérifier que, pour tout réel , on a = –
2. Calculer les images de 0, 1, et en utilisant, à chaque fois, l'expression de f (x) la plus adaptée.
3. Déterminer les antécédents éventuels de 0, - et - à partir de la forme la plus adaptée de . Exercice bonus : On donne le programme suivant, écrit en langage Python. … / 4
On se place dans un repère orthonormé (O,I,J).
1. Quel est l'affichage en sortie avec A(3 ; -4), B(-5 ; -1) ? 2. On se place dans un repère orthonormé (O,I,J).
a) Quel est l'affichage en sortie si on entre les coordonnées de I et J à la place des coordonnées de A et de B ?
b) Tel qu'est construit cet algorithme, une ligne d'instruction est inutile. Laquelle ? Que permet de déterminer l'algorithme ? c) Modifier la ligne 8 de l'algorithme pour qu'il permette de déterminer si le triangle OAB est rectangle en O.
8p 2
p50 3 2
-1 2
f f(x) 3x2¡6x 154
15
4 f(x)
f(x) x
x f(x) 3
4(2x¡5)(2x+ 1) 3(x¡1)2 274 p3 -1
2
3 4
Correction du DS n°2 Cours : Complète les théorème suivants :
Théorème 1 : Dans tout repère, les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont : = et : =
Théorème 2 : Dans un repère orthonormé, la distance entre les points A et B est : =
Exercice contrôlé n°1 : Se référer à la correction de l'exercice 1 du cours.
Exercice contrôlé n°2 : cf. correction n°16 p 217.
Exercice contrôlé n°3 : cf. correction n°62 p 220.
Exercice n°4 :
On considère la figure ci-dessous, dans le repère orthonormé (O;I,J).
1. On lit graphiquement : A(-2 ; -1), B(2 ; -4), C(5 ; 0) et D(1 ; 3).
2. On admet que le triangle ABC est rectangle et isocèle en B avec AB = BC = 5 et AC = . On note M le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à M. On donne M( ; ).
Sans calcul supplémentaire, justifier la nature complète du quadrilatère ABCD.
On sait que D et B sont symétriques par rapport à M. On en déduit que M est le milieu de [BD].
M est aussi le milieu de [AC].
Or, un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.
De plus, le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.
Or, un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même longueur est un carré.
Donc ABCD est un carré.
xI yI
AB
p50 3 2
-1 2 xA+xB
2
yA+yB
2
p(xB¡xA)2+ (yB¡yA)2
3. On note c le cercle de diamètre [AC]. Le point E(2 ; 3) appartient-il à c ? Justifier.
Le cercle c de diamètre [AC] est aussi le cercle de centre M et de rayon = = . Pour savoir si E(2 ; 3) appartient à c ou non on calcule EM et on compare avec .
EM = = =
EM = = = = =
EM = donc E ∈ c.
4. Le point F est tel que AF = 6 et CF = 4. Le triangle ACF est-il rectangle ? Justifier.
On a : AF = 6, CF = 4 et AC = ≈ 7,07
Si le triangle ACF était rectangle, son hypoténuse serait le plus grand côté[AC].
On a : AC = = 50
Mais : AF + CF = 6 + 4 = 36 + 16 = 52 AC ≠ AF + CF
Donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ACF n'est pas rectangle.
5. G est le point de [AB) tel que AG = 8. H est le point de [AC) tel que AH = . Les droites (GH) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.
Les points A, B et G sont alignés dans le même ordre que les points A, C et H.
On a : = Et : = = = = =
Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GH) et (BC) sont parallèles.
Exercice n°5 : est la fonction définie sur R par = – . 1. a) Vérifier que, pour tout réel , on a =
A = = = = – –
A = – =
b) Vérifier que, pour tout réel , on a = –
B = – = – = – = + –
B = – =
2. Calculer les images de 0, 1, et en utilisant, à chaque fois, l'expression de f (x) la plus adaptée.
= – = -
= – = – = -
= – = – = – = – + = +
= – + = – + = = =
8p 2
f f(x) 3x2¡6x 154
x f(x) 34(2x¡5)(2x+ 1)
x f(x) 3(x¡1)2 274
p3 -12
AC 2
p50 2 p(xM¡xE)2+ (yM¡yE)2
q
(
32¡ 2)
2+ (
-12¡ 3)
2q
(
32¡
42)
2+ (
-12¡
62)
2q
(
-12)
2+ (
-72)
2q
1
4
+
494q
50 4
pp50 4
p50 2
r
r
r
p50
2 p
502
2 2 2 2
2 2 2
AB AG
5 8
AC AH
p50 8p
2
p25p 2 8p
2
5p 2 8p
2 5 8 AB
AG AC AH
3
4(2x¡5)(2x+ 1) 34(4x2+ 2x¡10x¡5) 34(4x2¡8x¡5) 124 x2 244 x 154 3x2¡6x 154 f(x)
3(x¡1)2 274 3(x2¡2x+ 1) 274 3x2 ¡6x+ 3 274 3x2¡6x 124 274 3x2¡6x 154 f(x)
15
f(0) 3£02¡6£0 4 154 27
f(1) 3(1¡1)2 4 3£02 274 274 15
f(p 4
3) 3£p
32¡6£p
3 3£3¡6p 154
3 9¡6p 154
3 364 154 6p
3 6p
21 3 4 f(-12) 34(2£-12 5)(2£-12 1) 34(2£-12 5)(2£-12 1) 34(-1¡5)(-1 + 1) 34£(-6)£0 0
3. Déterminer les antécédents éventuels de 0, - et - à partir de la forme la plus adaptée de . =
=
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Or ≠ Donc :
= ou = = ou = - = ou = -
= -
– = - =
=
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Donc :
= ou = = ou =
= -
– = - = – = = = = Donc :
= ou = -
= ou =
Exercice bonus : On donne le programme suivant, écrit en langage Python.
On se place dans un repère orthonormé (O,I,J).
1. Quel est l'affichage en sortie avec A(3 ; -4), B(-5 ; -1) ?
= = = =
= = =
≠ donc l'affichage en sortie est « Non ».
2. a) Quel est l'affichage en sortie si on entre les coordonnées de I et J à la place des coordonnées de A et de B ?
I(1 ; 0) et J(0 ; 1)
= = =
= = =
= donc l'affichage en sortie est « Oui ».
b) Tel qu'est construit cet algorithme, une ligne d'instruction est inutile. Laquelle ? Que permet de déterminer l'algorithme ?
Le calcul de sur la ligne d3=sqrt((xB-xA)**2+(yB-yA)**2) est inutile pour comparer et . L'algorithme permet de déterminer si = c'est-à-dire si OA = OB c'est-à-dire si le triangle OAB est isocèle en O.
c) Modifier la ligne 8 de l'algorithme pour qu'il permette de déterminer si OAB est rectangle en O.
Pour déterminer si le triangle OAB est rectangle en O on modifie la ligne 8 : if d3**2==d1**2+d2**2:
15 4
3
4 f(x)
f(x) 0 3
4(2x¡5)(2x+ 1) 0
3 4
2x¡5 2x+ 1
2x 5 2x 1
x 52 x 12
x x
f(x) 154
0
0 0
15 3x2 ¡6x 154 4 3x2 ¡6x 0
0 3x(x¡2)
3x 0 x¡2 0
0 2
f(x) 34
3 3(x¡1)2 274 4 3(x¡1)2 274 34 3(x¡1)2 244 3(x¡1)2 6 (x¡1)2 63 (x¡1)2 2
x¡1 p
2 x¡1 p
2 x 1 +p
2 x 1¡p
2
d1 p
32+ (-4)2 p
9 + 16 p 25 5
d1
d2
p(-5)2+ (-1)2 p
25 + 1 p 26 d2
d1
d2
d1 d2
p12+ 02 p 1 1 p1 1 p02+ 12
d3 d1 d2
d1 d2
