Nom :
Classe : 2nde 1
Devoir surveillé n°1
le 29/09/2016
Note :
… / 20 La notation du devoir prendra en compte les efforts de soin, de présentation et de rédaction.
Une fois que vous aurez fini ce devoir vous complèterez la grille d’autoévaluation suivante.
Avis de l’élève Avis du professeur (ne pas remplir.)
Je sais : Oui Non Oui Non
Démontrer qu'une fonction peut s'écrire sous différentes formes.
Calculer des images.
Déterminer des antécédents.
Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction.
Déterminer si un point appartient ou non à la courbe représentative d'une fonction.
Lire un graphique.
Résoudre graphiquement une équation / Déterminer des antécédents.
Encadrer un nombre entre deux entiers consécutifs.
Comprendre un algorithme.
Utiliser la calculatrice pour compléter un tableau de valeurs.
Construire la courbe représentative d'une fonction point par point.
Justifier l'expression d'une quantité en fonction d'une longueur.
Résoudre un problème de géométrie en lien avec l'étude graphique d'une fonction.
Exercice 1 : … / 7,5
1. est la fonction définie sur R par : = 4( )( ) a) Démontrer que : ∀ ∈ R, = . b) Démontrer que : ∀ ∈ R, = 4( ) – 9
c) Calculer, en utilisant la forme la plus adaptée de , les images de -1, 0, et - .
d) Déterminer, en utilisant la forme la plus adaptée de , les antécédents éventuels de 0, -5 et 3.
2. est la fonction définie par : a . a) Déterminer l'ensemble de définition de .
b) Le point A(-1;-0,714) appartient-il à la courbe représentative de ? Justifier.
Exercice 2 : … / 5
est la fonction définie par la courbe c dans le repère orthonormé (O;I,J) ci-dessous.
1. Quel est l'ensemble de définition de ?
2. Compléter le tableau suivant avec les coordonnées des 5 points placés sur c :
3. a) Résoudre graphiquement l'équation = -2.
b) 8 admet-il un antécédent par . Justifier.
4. L'équation = 0 admet quatre solutions.
Parmi elles, trois ne sont pas dans Z.
On les note , et (avec < < ).
Faire apparaître ces solutions sur le graphique et donner pour chacune un encadrement entre deux entiers consécutifs.
f x¡12 x+52
x 4x2+ 8x¡5
x x+ 1 2
f(x) f(x) f(x)
f(x) p
2 52 f(x)
g g 2x3 ¡3
¡4x x
g
g f
f
x f(x) f
cf
f
f(x)
f(x)
® ¯ ° ® ¯ °
f
Exercice 3 : … / 7,5 Partie A : Tracer d'une fonction.
1. Que permet de faire l'algorithme suivant ?
Variables : et deux nombres réels Entrée : Saisir .
Traitement : prend la valeur Sortie : Afficher
2. est la fonction définie sur [0;10] par : =
En utilisant la calculatrice, compléter la table des valeurs de entre 0 et 10 avec un pas de 1.
Arrondir les résultats au dixième près.
x f (x)
3. A l'aide du tableau de valeurs précédent, construire une courbe pouvant représenter f dans le repère orthogonal (O;I,J) ci-dessous.
Partie B : Etude d'une configuration du plan.
Le segment [AB] de longueur 10 cm étant donné ci-contre, on note c un demi-cercle de diamètre [AB]. M est un point de c.
On rappelle que le triangle AMB ainsi construit est rectangle en M.
1. Dans quel intervalle peur varier la longueur AM ? 2. a) Justifier pourquoi MB = .
b) En déduire l'expression de l'aire aAMB du triangle AMB en fonction de AM.
3. En notant AM = et en utilisant la partie A, déterminer :
a) la valeur exacte de aAMB lorsque AM = 5. (résultat attendu sous la forme où , et sont trois entiers naturels, étant le plus petit possible)
b) les positions de M sur le demi-cercle c de sorte que aAMB = 24.
x x y y
y
f f(x)
f(x) xp
100¡x2 1
2 1
2xp
100¡x2
p100¡AM2
M
A B
x
ap b
c a b c
b
Correction du DS n°1 Exercice 1 :
1. est la fonction définie sur R par : = 4( )( )
a) ∀ ∈ R, = 4( )( )
= 4( )
= 4( ) = =
b) ∀ ∈ R, B = 4( ) – 9 = 4( ) – 9 = = = c) Calculer, en utilisant la forme la plus adaptée de , les images de -1, 0, et - .
= 4( ) – 9 = = = -5
= = = =
(- ) = 4(- – )(- + ) (- ) = 4 × × 0 = 0
d) Déterminer, en utilisant la forme la plus adaptée de , les antécédents éventuels de 0, -5 et 3.
= 0
4( )( ) = 0
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
4 ≠ 0 donc = 0 ou = 0 = ou = -
0 a deux antécédents par : et -
= -5
= -5 = 0
= 0 = 0
On en déduit : ou = 0 ou = -2 -5 a deux antécédents par : 0 et -2.
= 3
4( ) – 9 = 3 4( ) = 3 + 9 4( ) = 12
( ) =
( ) = 3
= ou = - = ou = -
3 a deux antécédents par : et -
2. est la fonction définie par : a . a) Déterminer l'ensemble de définition de .
Un quotient n'est défini que si son dénominateur est non nul.
≠ 0 ⇔ ≠ ⇔ ≠ Donc est définie sur R\{ }.
b) Le point A(-1;-0,714) appartient-il à la courbe représentative de ? Justifier.
= = = ≠ -0,714
Donc A ∉ c .
g
f f(x) x¡12 x+52
x
x x+ 1 2
f(x) p
2 52
f(x)
g g x 2x3¡¡4x3
g f(x) x¡12 x+52
f(x) x2+52x¡12x¡54
f(x) x2+42x¡54 4x2+162 x¡204 4x2+ 8x¡5
x2 + 2x+ 1 4x2+ 8x+ 4¡9 4x2 + 8x¡5 f(x)
4£02¡9 = -9
f(-1) -1 + 1 2 f(0) 4£02+ 8£0¡5
f(p 2) f(p
2) f(p
2)
4£2 + 8p 2¡5 4£(p
2)2+ 8p 2¡5
f(p 2)
8 + 8p 2¡5 3 + 8p
2
5 f 2 f 52
f(x)
x¡12 x+5 2
x¡12 x+52 1
2
5
x x 2
1 2
5 f 2
f f(x)
4x2+ 8x¡5 4x2 + 8x
4x£x+ 4x£2 4x(x+ 2)
4x= 0 x+ 2 = 0
x x
f f(x)
x+ 1 2 x+ 1 2 x+ 1 2 x+ 1 2 124 x+ 1 2 x+ 1 p
3 x+ 1 p 3 x p
3¡1 x p 3¡1 p3¡1 p
3¡1
3¡4x 3 4x x 34
3 g 4
g(-1) 23£¡(-1)4£(-1)¡3 -23+4¡3 -57 g
1 2
5 2 5
2
5 2 -6
2
Exercice 2 :
est la fonction définie par la courbe c dans le repère orthonormé (O;I,J) ci-dessous.
1. est définie sur [-7;5[
2. Compléter le tableau suivant avec les coordonnées des 5 points placés sur c :
-7 -6 -4 -1 1
3 -1 0 2 -2
3. a) = -2 ⇔ = 1 ou = 4
b) 8 n'admet pas d'antécédent par car la droite d'équation = 8 ne coupe pas la courbe c . 4. L'équation = 0 admet quatre solutions.
Parmi elles, trois ne sont pas dans Z.
On les note , et (avec < < ).
Faire apparaître ces solutions sur le graphique et donner pour chacune un encadrement entre deux entiers consécutifs.
-7 < < -6 0 < < 1 4 < < 5 Exercice 3 :
Partie A : Tracer d'une fonction.
1. L'algorithme suivant permet d'afficher en sortie l'image d'un réel saisit en entrée, par la fonction
définie par = .
Variables : et deux nombres réels Entrée : Saisir .
Traitement : prend la valeur Sortie : Afficher
2. est la fonction définie sur [0;10] par : =
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f (x) 0 5 9,8 14,3 18,3 21,7 24 25 24 19,6 0
3.
f f
f x
f(x) f(x)
f f(x)
® ¯ ° ® ¯ °
x y x
y 12xp
100¡x2 y
f f(x) 12
cf
f
x x
f y
y = 8
y = -2
α β 1 4 γ
× × ×
® ¯ °
y x
f(x) 12xp
100¡x2
cf xp
100¡x2
y = 24
6 8
Partie B : Etude d'une configuration du plan.
Le segment [AB] de longueur 10 cm étant donné ci-contre, on note c un demi-cercle de diamètre [AB]. M est un point de c.
On rappelle que le triangle AMB ainsi construit est rectangle en M.
1. Si M est confondu avec A, la longueur AM vaut 0. Si M est confondu avec B, alors AM = AB = 10.
On en déduit que la longueur AM varie dans l'intervalle [0;10].
2. a) Le triangle AMB est rectangle en M.
D'après le théorème de Pythagore, on a : AB = AM + MB
10 = AM + MB
100 = AM + MB
Donc : MB = 100 – AM
On en déduit MB = ou MB = -
Mais une longueur étant toujours positive ou nulle, on a nécessairement : MB =
b) aAMB = = = =
3. En notant AM = on obtient : aAMB = = =
a) Si AM = 5
Alors : aAMB = aAMB = aAMB = aAMB =
aAMB = =
b) Par lecture graphique dans la partie A on a : = 24 ⇔ = 6 ou = 8.
Or : aAMB =
On en déduit que aAMB = 24 lorsque M est placé sur le cercle de sorte que AM = 6 ou AM = 8.
p100¡AM2
x
M
A B
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
p100¡AM2 p
100¡AM2
base£hauteur 2
1 2AMp
100¡AM2 AM£
p
100¡AM2 2
AM£MB 2
1 2AMp
100¡AM2 12xp
100¡x2 1
2£5£p
100¡52 1
2£5£p
100¡25 1
2£5£p 75 1
2
25p 3 2
£5£p
25£p 3 1
2£5£5£p 3
f(x)
f(x) x x
f(x)
