Fonctions polynômes du second degré - Classe de 1ère
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I - Définition et forme canonique
Définition :
On appelle fonctionpolynôme (ou trinôme) du second degrétoute fonction f définie par f (x)=ax2+bx+c où a, b et c sont des nombres réels appelés coefficients(a 6=0).
Exemples : Les fonctions suivantes sont des trinômes du second degré : f (x)=2x2−8x+5
g(x)= −x2+7
Propriété : Forme canonique
Toute fonction f (x)=ax2+bx+c peut s’écrire sous la forme :
f (x)=a(x −α)2+β
oùαet βsont deux nombres réels.
Cette écriture s’appelleforme canonique de f .
Preuve : admis
Remarque : On peut déterminer facilementαetβ : α= − b
2a et β=a(α−α)2+β= f (α)
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Exemple : Déterminer une forme canonique
• Déterminons la forme canonique du polynôme f (x)=2x2−8x+5 Pour tout réel x, f (x)=2
µ
x2−4x +5 2
¶ .
Or x2−4x est le début du développement de (x−2)2 car (x−2)2=x2−4x+4.
En outre : (x −2)2=x2−4x+4⇔x2−4x =(x−2)2−4.
On en déduit donc que :
f (x)=2 µ
x2−4x +5 2
¶
=2 µ
(x−2)2−4+5 2
¶
=2 µ
(x−2)2−3 2
¶
=2(x−2)2−3
• Concernant le polynôme g(x)= −x2+7, on remarque qu’il est déjà sous forme canonique avec α=0 et β=7
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II - Variations et représentation graphique
Propriété : Une fonction polynôme du second degré f (x)=ax2+bx+c est :
• strictement décroissante puis strictement croissante si a >0
• strictement croissante puis strictement décroissante si a <0
Preuve : admis
Remarque : Le point de coordonnées (α;β) est le sommet de la parabole représentant la fonction f . Exemple : En utilisant la forme canonique
Soit f (x)=2(x−2)2−3, cette fonction atteint un minimum pour (x−2)2=0 c’est-à-dire pourx =2.
Ce minimum est alors f (2)= −3
x f (x)
−∞ 2 +∞
+∞
+∞
−3
−3
+∞
+∞
0 1 1
−3
2
Cf
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