PanaMaths Janvier 2002
Déterminer :
3 2 0
ln sin lim cos
ln cosh 3
x
x
x x
→
x
⎛ ⎛ ⎞ ⎞
⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎝ ⎠ ⎟
⎜ ⎟
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟⎟
⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠⎟
⎝ ⎠
Analyse
Comme on a
0
lim sin 1
x
x
→ x
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ et lim cosx→0
(
x)
=limx→0(
3cosx)
=1, il vient :0 3
lim sin 1
cos
x
x
x x
→
⎛ ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠ et
0 3
lim ln sin 0
cos
x
x
x x
→
⎛ ⎛ ⎞⎞=
⎜ ⎜⎝ ⎟⎠⎟
⎝ ⎠ . Par ailleurs, on a 2
( )
0
lim cosh cosh 0 1
3
x
x
→
⎛ ⎛ ⎞⎞
= =
⎜ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠ et donc
2 0
lim ln cosh 0
3
x
x
→
⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎞⎞=
⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟⎟⎟
⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠⎟
⎝ ⎠ . Nous sommes donc confrontés à une forme indéterminées de type
« 0
0 ». On la lève en déterminant des équivalents simples du numérateur et du dénominateur.
Résolution
Les équivalents vont être obtenus à partir de développements limités à l’origine des diverses fonctions présentes.
Il n’est pas évident, à priori, de déterminer l’ordre auxquels ces développements doivent être menés.
Le développement limité du sinus ne comporte que des puissances impaires de x. De fait, le développement limité de sinx
x ne comportera que des puissances paires. De même, le développement limité du cosinus ne comportant que des puissances paires de x, il en ira de même pour 3cosx.
On est ainsi tenté de développer ces deux fonctions à l’ordre 2. Procédons donc ainsi.
On a : sinxx= −1 x62 +o x
( )
3 (puisque le terme suivant serait en « x4 ») et :( ) ( ) ( )
1
2 2
1 3
3 3
3 3
1 cos 1 1
2 6
cos
x x
x o x o x
x
−
− ⎛ ⎞
= = −⎜ + ⎟ = + +
⎝ ⎠
PanaMaths Janvier 2002
En effectuant alors le produit de ces deux développement limités, on constate rapidement que les termes en « x2 » s’annulent … La partie principale de ce développement limité n’est pas en « x2 » mais en « x4 » au moins.
Nous reprenons donc notre calcul avec, cette fois, des développements menés à l’ordre 4 :
( )
2 4
sin 5
1 6 120
x x x
x = − + +o x et :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
2 4 3
5 3
2 4 2 4 2
5 5 5
2
4 5
2 4
5
1 1
2 24 cos
1 2
1 3 2 24 9 2 24
1 1 2 1
1 6 3 24 9 4
1 6 24
x x
x o x
x x x x
o x o x o x
x x o x
x x
o x
⎛ ⎞−
= −⎜ + + ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − ⎜− + + ⎟+ ⎜− + + ⎟ +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
= + + − ×⎜⎝ + × ⎟⎠ +
= + + +
Le produit de ces développements limités s’écrit alors :
( ) ( ) ( )
( )
2 4 2 4
5 5 4 5
4 5
1 1 1
1 1 1
6 120 6 24 24 36 120
1 45
x x x x
o x o x x o x
x o x
⎛ − + + ⎞⎛ + + + ⎞= +⎛ − + ⎞ + +
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠
⎝ ⎠⎝ ⎠
= + +
Il vient donc :
4 3
ln sin cos 45
x x
x x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠∼
Pour ce qui est du dénominateur, nous devons souligner que le développement limité du cosinus hyperbolique ne comporte que des puissances paires de x. Comme, de surcroît, l’argument est ici
2
3
x , nous allons considérer le développement limité à l’ordre 2 du cosinus
hyperbolique qui fournira un développement limité à l’ordre 4 de
2
cosh 3
⎛x ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠.
On a : coshx= +1 x22+o x
( )
3 et donc : cosh⎛⎜x32⎞⎟= +1 18x4 +o x( )
7⎝ ⎠ (puisque le terme suivant
serait en « x8 »). On a donc :
2 4
ln cosh
3 18
x x
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠∼
PanaMaths Janvier 2002
A partir des deux équivalences obtenues, on obtient :
4 3
2 4
ln sin
18 2
cos 45
45 5 ln cosh
3 18
x x
x x
x x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ = =
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎜ ⎟⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∼
Soit, finalement :
3 0 2
ln sin cos 2
lim 5
ln cosh 3
x
x
x x
→ x
⎛ ⎛ ⎞ ⎞
⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎝ ⎠ =⎟
⎜ ⎛ ⎛ ⎞⎞⎟
⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟⎟
⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠⎟
⎝ ⎠
Résultat final
3 0 2
ln sin cos 2
lim 5
ln cosh 3
x
x
x x
→ x
⎛ ⎛ ⎞ ⎞
⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎝ ⎠ =⎟
⎜ ⎛ ⎛ ⎞⎞⎟
⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟⎟
⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠⎟
⎝ ⎠
