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Fonctions convexes (TES)
(1) Fonctions convexes, fonctions concaves Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
[1] On dit que la fonction f est convexe sur l’intervalle I lorsque la courbe représentative de la fonction f est toujours située au dessus de ses tangentes sur l’intervalle I
[2] On dit que la fonction f est concave sur l’intervalle I lorsque la courbe représentative de la fonction f est toujours située au dessus de ses tangentes sur l’intervalle I
Exemples à connaître :
La fonction carré xx2est convexe sur IR La fonction racine carrée x xest concave sur
0;
La fonction exponentielle xexest convexe sur
IR La fonction logarithme népérien xln
x est concave sur
0;
Théorème
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
[1] La fonction f est convexe sur I si, et seulement si, la fonction dérivée f est croissante sur I [2] La fonction f est concave sur I si, et seulement si, la fonction dérivée f est décroissante sur I
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Théorème
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.
On note alors f (on dit « f seconde ») la dérivée seconde de la fonction f, c'est-à-dire la dérivée de la fonction dérivée f.
[1] La fonction f est convexe sur I si, et seulement si, pour tout xI, f
x 0[2] La fonction f est concave sur I si, et seulement si, pour tout xI, f
x 0(2) Points d’inflexions Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I
Un point d’inflexion est un point où la courbe représentative de la fonction f traverse sa tangente.
Exemple à connaître :
La tangente à la courbe représentative de la fonction cube xx3 au point O de coordonnées (0 ; 0) est l’axe des abscisses.
La courbe représentative de la fonction cube coupe l’axe des abscisses en O donc O est un point d’inflexion pour la courbe représentative de la fonction cube.
Théorème
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I Soit aI
Le point A de coordonnées
a; f
a
est un point d’inflexion pour la courbe représentative de la fonction f si, et seulement si, la fonction dérivée f change de sens de variation en a.Théorème
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I Soit aI
Le point A de coordonnées
a; f
a
est un point d’inflexion pour la courbe représentative de la fonction f si, et seulement si, la fonction dérivée seconde f s’annule et change de signe en a.Remarque :
Sur un intervalle donné, une fonction peut n’être ni convexe, ni concave.
C’est notamment le cas si elle admet un point d’inflexion sur cet intervalle.
La fonction ci-contre admet un point d’inflexion de coordonnées (1 ; 2), elle n’est donc ni convexe, ni concave sur l’intervalle