;0   ln xx ;0    

ov 1 / 2

Fonctions convexes (TES)

(1) Fonctions convexes, fonctions concaves Définition

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

[1] On dit que la fonction f est convexe sur l’intervalle I lorsque la courbe représentative de la fonction f est toujours située au dessus de ses tangentes sur l’intervalle I

[2] On dit que la fonction f est concave sur l’intervalle I lorsque la courbe représentative de la fonction f est toujours située au dessus de ses tangentes sur l’intervalle I

Exemples à connaître :

La fonction carré xx²est convexe sur IR La fonction racine carrée x xest concave sur



0;



La fonction exponentielle xe^xest convexe sur

IR La fonction logarithme népérien xln

 

x est concave sur



0;



Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

[1] La fonction f est convexe sur I si, et seulement si, la fonction dérivée f est croissante sur I [2] La fonction f est concave sur I si, et seulement si, la fonction dérivée f est décroissante sur I

ov 2 / 2

Théorème

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.

On note alors f  (on dit « f seconde ») la dérivée seconde de la fonction f, c'est-à-dire la dérivée de la fonction dérivée f.

[1] La fonction f est convexe sur I si, et seulement si, pour tout xI, ^{f }

 

^{x 0}

[2] La fonction f est concave sur I si, et seulement si, pour tout xI, f 

 

x 0

(2) Points d’inflexions Définition

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I

Un point d’inflexion est un point où la courbe représentative de la fonction f traverse sa tangente.

Exemple à connaître :

La tangente à la courbe représentative de la fonction cube xx³ au point O de coordonnées (0 ; 0) est l’axe des abscisses.

La courbe représentative de la fonction cube coupe l’axe des abscisses en O donc O est un point d’inflexion pour la courbe représentative de la fonction cube.

Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I Soit aI

Le point A de coordonnées



a; f

 

a



est un point d’inflexion pour la courbe représentative de la fonction f si, et seulement si, la fonction dérivée f change de sens de variation en a.

Théorème

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I Soit aI

Le point A de coordonnées



a; f

 

a



est un point d’inflexion pour la courbe représentative de la fonction f si, et seulement si, la fonction dérivée seconde f  s’annule et change de signe en a.

Remarque :

Sur un intervalle donné, une fonction peut n’être ni convexe, ni concave.

C’est notamment le cas si elle admet un point d’inflexion sur cet intervalle.

La fonction ci-contre admet un point d’inflexion de coordonnées (1 ; 2), elle n’est donc ni convexe, ni concave sur l’intervalle



^0,5;2,5

