PanaMaths Janvier 2002
Déterminer :
( )
2
2 0
arctan sin lim
ln sin
x
x x x
x x
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎟
⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⎟
⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎟
⎝ ⎠
−
Analyse
Comme on a limx→0
(
x2−xsinx)
= − =0 0 0, il vient : lim arctanx→0( (
x2−xsinx) )
=0. Par ailleurs, on a :0
lim sin 1
x
x
→ x
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ et donc :
2
0
lim ln sin 0
x
x
→ x
⎛⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎞
⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ =
⎜⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎟
⎝ ⎠
. Nous sommes donc confrontés à une
forme indéterminées de type « 0
0 ». On la lève en menant en 0 des développements limités du numérateur et du dénominateur qui permettent de trouver des équivalents simples.
Résolution
Le développement limité en 0 à l’ordre 4 du sinus s’écrit :
3
( )
sin 3
6 x= −x x +ο x
Il vient alors : x2−xsinx=x2−x x⎛⎜ − x63+ο
( )
x3 ⎞⎟= x64 +ο( )
x4⎝ ⎠ .
Or, au voisinage de 0, on a : arctanx∼ x. Il vient donc :
(
2)
4arctan sin (1)
6 x −x x ∼ x
Toujours, en utilisant le développement limité du sinus fourni ci-dessus, on a :
( )
2
sin 2
1 6
x x
x = − +ο x
PanaMaths Janvier 2002
Or, au voisinage de 0, on a : ln 1
(
+x)
∼x. On aura alors : sin 2ln 6
x x
x
⎛ ⎞ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠∼ et donc :
2 4
ln sin (2)
36
x x
x
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠ ∼
De (1) et (2), on tire finalement :
(
2)
42 4
arctan sin 6 36 6
sin 6
ln 36
x
x x x
x x x
− = =
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠
∼
C’est à dire :
(
2)
0 2
arctan sin
lim 6
ln sin
x
x x x
x x
→
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎜ ⎟ =
⎜ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎟
⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟
⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎟
⎝ ⎠
Résultat final
(
2)
0 2
arctan sin
lim 6
ln sin
x
x x x
x x
→
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎜ ⎟ =
⎜ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎟
⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟
⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎟
⎝ ⎠
