PanaMaths Janvier 2002
Déterminer le développement limité en 0 à l’ordre 6 de : ( ) ln sin x
f x x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
Analyse
Il s’agit ici de déterminer le développement limité d’une composée de deux fonctions.
Résolution
On note d’abord que f n’est pas définie en 0.
Mais en vertu de
0
lim sin 1
x
x
→ x
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ , il vient :
( )
0
lim ( ) ln 1 0
x f x
→ = = .
Le terme constant du développement limité de f en 0 est donc nul.
Le développement limité de la fonction sinus à l’ordre 5 s’écrit : sinx= −x x63+120x5 +o
( )
x6Il vient donc : sinxx= −1 x62 +120x4 +o
( )
x5 .On considère alors le développement limité de ln 1
(
+x)
à l’origine à l’ordre 2 puisque les termes de puissance supérieure à 2 fourniraient des puissances de x supérieures ou égales à 6.On a : ln 1
(
+x)
= −x x22 +o( )
x2 .En composant alors les développements limités, on obtient :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 4
5
2 4 2 4 2
5 5 5
2 2 4
4 5 5
ln sin ln 1 o
6 120
o 1 o o
6 120 2 6 120
1 1
o o
6 120 72 6 180
x x x
x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
⎛ ⎞
⎛ ⎞ = ⎜ − + + ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= −⎜ + + ⎟− ⎜− + + ⎟ +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
= − +⎜⎝ − ⎟⎠ + = − − +
PanaMaths Janvier 2002
Résultat final
Le développement limité en 0 à l’ordre 4 de sin
( ) ln x
f x x
⎛ ⎞
= ⎜⎝ ⎟⎠ s’écrit :
( )
2 4
sin 5
ln o
6 180
x x x
x x
⎛ ⎞ = − − +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
