PanaMaths Janvier 2002
Déterminez le développement limité en 0 à l’ordre 6 de :
(
2)
( ) sin f x = x x +
Analyse
Il s’agit ici de déterminer le développement limité d’une composée de deux fonctions.
Résolution
On va utiliser le développement limité en 0 de la fonction sinus. Nous le menons à l’ordre 6 car nous allons remplacer « x » par « x+x2 » pour obtenir celui de la fonction f. x étant présent dans la somme « x+x2 », toute puissance de cette somme fournira la même puissance de x (par exemple :
(
x+x2)
3 fournit, entre autre, le terme x3).On part donc de :
3 5
( )
sin ο 6
6 120
x x
x= −x + + x Il vient alors :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 5
2 2
2 2 6
2 3 4 5 6 5 6 6
2 3 4 5 6 6
2 3 4 5 6 6
sin ο
6 120
1 1
3 3 5 ο
6 120
1 1 1 1 1 1
6 2 2 120 6 24 ο
1 1 59 1 ο
6 2 120 8
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
+ +
+ = + − + +
= + − + + + + + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − − + − +⎜⎝ ⎟⎠ + − +⎜⎝ ⎟⎠ +
= + − − − − +
Remarque : ce résultat illustre le fait que, contrairement à l’idée parfois reçue, les coefficients de la partie régulière d’un développement limité ne vont pas nécessairement en se
complexifiant !
PanaMaths Janvier 2002
Résultat final
Le développement limité en 0 à l’ordre 6 de f x( ) sin=
(
x+x2)
s’écrit :(
2)
2 1 3 1 4 59 5 1 6( )
6sin ο
6 2 120 8
x+x = +x x − x − x − x − x + x
