1) Développement limité à l’ordre 1 de

Formule de Taylor à l’ordre 2 — Recherche d’extremums

L’étude qui suit peut se généraliser à un espace vectoriel euclidien quelconque mais, pour simplifier, je me place dans E =Rⁿ, identifié si besoin à Mn,1(R) et muni de sa base canonique B, du produit scalaire canonique (·|·) et de la norme euclidienne · associée.

Pour faire apparaître les calculs matriciels, j’identifierai si besoin un vecteur de E au vecteur colonne de ses coordonnées dansB.

Soit U un ouvert de E etf une application de classe C² sur U.

1) Développement limité à l’ordre 1 de

Commef :U →R esta fortiori de classe C¹,∇f est une application de U dans E.

On dit dans les livres qu’elle estde classe C¹, mais ce terme n’est pas au programme en PSI, s’agissant d’une fonction à valeurs vectorielles. . . Je vais tout de même en obtenir un développement limité à l’ordre 1 !

Comme Best orthonormale, j’ai, en notant ∂if lai-ième dérivée partielle def relativement à B,

∀a∈U ∇f(a) =





∂₁f(a) ...

∂nf(a)



.

f étant de classeC², les ∂_if sont de classeC¹ par définition.

Soit alors h∈E tel quea+h∈U (comme U est un ouvert, c’est le cas dès que h est suffisamment petite).

Selon le développement limité à l’ordre 1 d’une fonction de classe C¹, je dispose pour tout i∈ [[1, n]]

d’une fonctionε_i telle que

∂_if(a+h) =∂_if(a) + ∇∂_if(a)|h + h ε_i(h) où ε_i(h)−→

h→00. D’où en rassemblant les coordonnées

∇f(a+h) =∇f(a) +





∇∂1f(a)|h ...

∇∂nf(a)|h



+ h .ε(h) où ε(h) =



 ε₁(h)

... εn(h)



.

Or, par définition des dérivées partielles secondes et de la base canonique,

∇∂_if(a)|h =

n j=1

∂_j,if(a).h_j où h=



 h₁

... h_n



.

Le terme d’ordre 1 dans le développement ci-dessus apparaît donc sous la forme Hf(a) (h) où Hf(a) est l’endomorphisme de E de canoniquement associé à la matrice

H = ∂_j,i² f(a) _1≤i,j≤n ; en effetH×



 h₁

... h_n



=









n j=1

∂_j,1² f(a).hj

...

n j=1

∂²_j,nf(a).h_j







 .

Ainsi

∇f(a+h) =∇f(a) +Hf(a) (h) + h .ε(h) où ε(h)−→

h→00.

Le lecteur curieux remarquera queHf(a)est défini dans les livres commela différentielle de ∇f en a, à condition d’avoir défini la différentielle d’une application à valeurs vectorielles, ce qui n’est pas le cas dans le programme officiel de PSI. . .

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2) Matrice hessienne, endomorphisme hessien

Pour a dans U, la matrice carrée H = ∂_i,j² f(a)

1≤i,j≤n est appelée la matrice hessienne de f en a (relativement à B).

L’endomorphisme Hf(a) est appelé l’endomorphisme hessien de f en a.

Commef est de classeC², le théorème de Schwarz s’applique !

H est une matrice symétrique de Mn(R) etHf(a) est un endomorphisme symétrique de E (puisque B est une base orthonormale).

Ainsi le théorème spectral s’appliquera également !!

Remarque philosophique : ce qui précède a été fait dans la base canonique B et la matriceH dépend bien du choix de la base. En revanche on peut montrer l’unicité de l’endomorphisme Hf(a) véri- fiant le développement limité ci-dessus (par la même méthode que celle du cours pour l’unicité de la différentielle. . . ). Cet endomorphisme ne dépend donc pas du choix de la base et on peut montrer que sa matrice dans une base donnée est remplie par les dérivées partielles secondes def en arelativement à cette base.

3) Formule de Taylor-Young à l’ordre 2

Théorème :soitf ∈ C²(U,R) eta∈U ; on a f(a+h) =

h→0f(a) + ∇f(a)|h + 1

2 Hf(a) (h)|h +o h ²

Dém.CommeU est ouvert, je dispose der >0 tel queB(a, r)∈U. Fixonsh∈E non nul tel h < r. Soit ϕ:t→f(a+th) ; comme [a, a+h]⊂U,ϕest (au moins) C¹ comme composée d’applicationsC¹ et, selon la règle de la chaîne,

∀t∈[0,1] ϕ^′(t) = df(a+th) (h) = ∇f(a+th)|h .

Pour calculerϕ^′′(t)dans le cadre du programme de PSI, je fixetet je développe à l’aide du1)ϕ^′(t+δ), où δ est tel quet+δ ∈[0,1]:

ϕ^′(t+δ) = ∇f(a+th+δh) h

= ∇f(a+th) +Hf(a+th) (δh) + δh ε(δh) h

δ→0= ϕ^′(t) +δ. Hf(a+th) (h) h +o(δ)

J’ai utilisé le1)en remplaçantapara+th,t, hétant ici fixés etHf(a+th)étant linéaire. La fonction εdépend det et dehmais pas deδ !

Je reconnais un développement limité à l’ordre 1 en t pour la fonction ϕ^′, j’en déduis que ϕ est deux fois dérivable et que :

∀t∈[0,1] ϕ^′′(t) = Hf(a+th) (h) h . En particulier

ϕ^′(0) = ∇f(a)|h et ϕ^′′(0) = Hf(a) (h)|h .

De plus, toutes les dérivées partielles secondes def étant continues par hypothèse, l’expression ci-dessus montre queϕest de classeC²sur[0,1]et la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 1 s’applique :

ϕ(1) =ϕ(0) +ϕ^′(0) +

1 0

(1−t)ϕ^′′(t) dt=ϕ(0) +ϕ^′(0) +1

2ϕ^′′(0) +

1 0

(1−t) ϕ^′′(t)−ϕ^′′(0) dt.

Enfin, pour toutt dans[0,1],

ϕ^′′(t)−ϕ^′′(0) = [Hf(a+th)− Hf(a)] (h)|h

≤ N Hf(a+th)− Hf(a) · h ²

où N désigne la norme sur L(E) subordonnée à la norme euclidienne canonique (cf. le complément à la fin du chapitre4).

Comme f est de classeC²,Hf :U → L(E) est continue (ses applications coordonnées dans la base de L(E) associée à B sont les dérivées partielles secondes de f). Alors la majoration précédente montre que le “reste intégral” ci-dessus est bien un o h ² lorsque htend vers 0.

Le développement limité à l’ordre 2 annoncé en résulte.

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4) Application à la recherche d’extremums locaux

Soit f ∈ C²(U,R) et a∈U un point critique de f. D’après le paragraphe précédent, on a, en notant q :h→ Hf(a) (h)|h la forme quadratique associée à l’endomorphisme symétriqueHf(a),

f(a+h)−f(a) = 1

2q(h) + h ²ε(h) où ε(h)−→

h→00.

Rappelons que la forme quadratique q est définie par q(h) = B(h, h), où B est la forme bilinéaire symétrique définie par

∀(u, v)∈E² B(u, v) = Hf(a) (u)|v

et que q est dite positive (resp. définie positive, négative, définie négative) si et seulement siB l’est.

Ces termes sont plus naturels lorsqu’on parle d’une forme quadratique, puisque :

•q est positive si et seulement si : ∀h∈E q(h)≥0

•q est définie positive si et seulement si : ∀h∈E\ {0} q(h)>0 (et le pendant pour “négative” et “définie négative”).

NB : la notion de forme bilinéaire symétrique est toujours au programme en PSI, mais le terme de forme quadratique en a été retiré. . .

Le lecteur oublieux aura intérêt à relire la fin du chapitre 8(§ V-2) où le théorème spectral a permis d’établir le lien entre lesdites propriétés de q et le signe des valeurs propres deHf(a). . .

Il pourra alors établir les propriétés suivantes.

Conditions nécessaires :

•sif admet un minimum local en a, nécessairementq est positive

•sif admet un maximum local en a, nécessairementq est négative

Indication : utiliser f(a+th)−f(a), sachant queq(th) =t²q(h), et faire tendre tvers 0. . . Conditions suffisantes:

•siq est définie positive, alorsf admet un minimum local strict en a

•siq est définie négative, alorsf admet un maximum local strict en a

Indication : utiliser le théorème spectral et l’expression analytique réduite de q(h) qui fournit λ h ²≤q(h)≤Λ h ²

où λest la plus petite valeur propre de Hf(a) etΛ la plus grande.

5) Expression analytique en dimension 2, notations de Monge

Ici f ∈ C²(U,R), avecU ouvert deR² et(a, b)∈U est un point critique def. On note r= ∂²f

∂x² (a, b) ; s= ∂²f

∂x∂y(a, b) ; t= ∂²f

∂y² (a, b) La matrice hessienne de f en (a, b) est r s

s t ; son déterminant vaut rt−s² et sa trace r+t, son polynôme caractéristique s’écrit (X−λ) (X−µ) avec

λµ=rt−s² et λ+µ=r+t

•sirt−s²>0etr+t >0, alors f admet un minimum local strict en(a, b)

•sirt−s²>0etr+t <0, alors f admet un maximum local strict en(a, b)

•sirt−s²<0, alorsf n’admet pas d’extremum en (a, b)

•sirt−s²= 0, pas de conclusion directe. . . On en revient à l’étude locale et manuelle de f(a+h, b+k)−f(a, b) =

(h,k)→(0,0)

1

2 rh²+ 2shk+tk² +o (h, k) ² .