PanaMaths
[1 - 2]Novembre 2013
Soit z un complexe de module 1, différent de 1 − . Montrer qu’il existe un unique réel α tel que : 1
1 z i
i α α
= − + .
Analyse
On dispose de l’égalité 1 1 z i
i α α
= +
− que l’on interprète comme une équation en « α » et que l’on résout dans un ensemble à préciser. Il convient alors de vérifier que la solution obtenue est réelle …
Résolution
Soit z un complexe de module 1, différent de 1− . On considère l’équation : 1
1 z i
i α α
= +
− . On doit avoir 1−iα ≠0, soit 1
i i
α ≠ = − . On résout donc cette équation dans ^\
{ }
−i .En raisonnant dans ^\
{ }
−i , il vient :( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1
z i z i i z zi i z i z
i
α α α α α α
α
= + ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ − = +
−
Puisque z est différent de 1− , on a :
( )
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1
i z z z z
z z i z i i i
i z i z z z
α α α α
α
+ − − − −
= ⇔ − = + ⇔ = ⇔ = = − =
− + + + +
On note d’emblée que l’équation admet une solution unique.
Intéressons-nous maintenant au conjugué de 1 1 i z
z
− + :
1 1 1 1
1 1 1 1
z z z z
i i i i
z z z z
− − − −
⎛ ⎞= ⎛ ⎞= − = −
⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ + +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
PanaMaths
[2 - 2]Novembre 2013
Le complexe z est non nul puisque son module est égal à 1.
On a alors, en tenant compte de z2= =1 z z :
( ) ( )
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
z z
z z z z z z z
i i i i i i
z z z z z z z z z
− − − − − −
⎛ ⎞ = − = − = − = − =
⎜ + ⎟ + + + + +
⎝ ⎠
Ainsi, le complexe 1 1 i z
z
−
+ est égal à son conjugué. Il s’agit d’un réel.
En définitive, l’équation 1 1 z i
i α α
= +
− admet une unique solution dans ^\
{ }
−i , il s’agit du réel 11 i z
z
− + .
Résultat final
Pour tout complexe z de module 1, différent de 1− , il existe un unique réel α tel que : 1
1 z i
i α α
= +
− c'est : 1
1 i z α= −z
+ .
