On consid` ere un conducteur ` a 2 contacts. N α canaux sont ouverts au contact α. La matrice s est de la forme :

Physique M´ esoscopique

S´erie 6 Semestre d’´ et´ e 2000

1 Fluctuations du courant dans un conducteur ` a 2 contacts

On consid` ere un conducteur ` a 2 contacts. N α canaux sont ouverts au contact α. La matrice s est de la forme :

s =

r t ⁰ t r ⁰

. (1)

Les corr´ elations des courants aux contacts sont (` a fr´ equence nulle) : S _αβ = h∆I _α ∆I _β i = 2e ²

h Z

dE X

γ,λ

Tr n

A ^α _γλ A ^β _λγ o

f _γ (1 − f _λ ) , (2)

o` u f α est la distribution de Fermi au contact α et A ^α _γλ = δ αγ δ αλ − s ^† αγ s αλ les ´ el´ ements de matrice de l’op´ erateur de courant au contact α.

1) Trouver les relations entre les sous-matrices r, t, r ⁰ et t ⁰ qui viennent de l’unitarit´ e de s. En d´ eduire que t ^† t = t ⁰ t ^0† .

2) Calculer l’int´ egrale

Z dE 1

2 [f 1 (1 − f 2 ) + f 2 (1 − f 1 )] (3) On donne R ∞

0 dx _a+ch ¹ _x = ^{√ 1}

a

−1 ln a + √

a ² − 1

3) D´ eduire les fluctuations S = S ₁₁ = S ₂₂ = −S ₁₂ , qu’on exprimera en fonction des valeurs propres T _n de la matrice t ^† t.

Etudier les deux cas limites : (i) bruit thermique d’´ ´ equilibre (Johnson-Nyquist) : µ α = µ 0 ∀ α, (ii) bruit de grenaille (Shottky) : T = 0 K.

2 Bruit de grenaille dans un conducteur ` a 3 contacts dans le r´ egime de l’effet Hall

Le conducteur de la figure a ´ et´ e r´ ealis´ e exp´ erimentalement tr` es r´ ecemment [Oberholzer et al. Physica E 6 (2000)] (voir aussi C. Texier

& M. B¨ uttiker, Phys. Rev. B 62 (2000)).

1) Construire la matrice s d´ ecrivant la diffusion dans ce conducteur. On introduira les probabi- lit´ es de r´ eflexion et de transmission aux deux points quantiques : R 1 , T 1 , R 3 et T 3 .

D´ eduire la matrice des conductances.

0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 11

00000 00000 11111 11111 00

00 00 00 0

11 11 11 11 1

I

I

B

I

2

3

QPC 3

V

2) Donner une version simplifi´ ee de la formule (2) dans le r´ egime du bruit de grenaille.

3) Le contact 1 est ` a un potentiel µ 1 = µ 0 + eV et les deux autres contacts au mˆ eme potentiel µ ₀ . Donner la matrice des corr´ elations des courants aux diff´ erents contacts S _αβ . V´ erifier que la conservation du courant est satisfaite.

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