Correction d’un exercice 1. 1. L’espace des formes lin´eaires (not´e E ∗) sur un espace vectoriel

Correction d’un exercice 1.

1. L’espace des formes lin´eaires (not´eE^∗) sur un espace vectoriel E de dimension n est de dimension n (par exemple, il est isomorphe par choix d’une base `a l’espace des matrices de taillen×1).

2.Il suffit d’invoquer le th´eor`eme suivant pour ´etablir l’existence desφ_i: soit deux espaces vectoriels E et F, (e_i)_i∈I une base de E, et (f_i)_i∈I une famille d’´el´ements deF. Alors il existe une unique application lin´eaireutelle que u(e_i) = f_i pour tout i ∈ I. Elle est donn´ee par u(P

ia_ie_i) = P

ia_if_i (pour prouver l’existence dans le th´eor`eme, il suffit de voir que cette for- mule d´efinit bien une application lin´eaire ; l’unicit´e est ´evidente). Remarquez qu’aucune hypoth`ese de dimension n’a ´et´e faite dans le th´eor`eme.

Si P

iλ_iφ_i = 0 est une relation de d´ependance lin´eaire entre les φ_i, une

´evaluation de ceci en e_j, pour n’importe quel j, am`ene : 0 =X

i

λ_iφ_i(e_j) =X

i

λ_iδ_ij =λ_j,

et donc la relation initiale est triviale. Cela montre la libert´e de la familleφ_i. Le nombre d’´el´ements dans cette famille est ´egal `a la dimension de l’espace des formes lin´eaires, c’est donc une base (appel´ee base duale de la base (e_i)).

3. Tout vecteur non nul peut ˆetre compl´et´e en une base de E, et une forme lin´eaire qui ne s’annule pas en ce vecteur est alors donn´ee par la ques- tion pr´ec´edente. On a donc montr´e que pour tout vecteur non nul, il existe une forme lin´eaire qui ne s’annule pas en ce vecteur. Par contraposition, tout vecteur en lequel toutes les formes lin´eaires s’annulent est nul.

4.On pose, pour (ψ_i)_i nformes lin´eaires lin´eairement ind´ependantes (et donc une famille g´en´eratrice de l’espace des formes lin´eaires, par la question 1.) :

< x, y >=

n

X

i=1

ψ_i(x)ψi(y).

La sym´etrie de < x, y > est claire (par commutativit´e de la multiplica- tion r´eelle), la lin´earit´e provient de la linarit´e des ψ_i et de la somme. On a l’identit´e : < x, x >= Pn

i=1ψ_i(x)², qui est un r´eel positif, pour tout x.

De plus, en tant que somme de r´eels positifs, < x, x > est nul si et seule- ment si chacun desψ_i(x)² est nul, soit encore si et seulement si chacun des ψ_i(x) est nul. Puisque la famille ψ_i est g´en´eratrice, c’est ´equivalent `a ce que ψ(x) soit nul pour toute forme lin´eaireψ, et c’est donc ´equivalent `a x= 0 par la question 3. On a donc bien une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive. Remarquez qu’on ne s’est en fait servi que de ce que la famille ψ_i

1

engendre l’espace des formes lin´eaires, et pas de sa libert´e, ni de son cardinal.

5. La r´eponse est non. Par exemple, dans R², on consid`ere la forme lin´eaireψ((x, y),(x^′, y^′)) =xx^′. Alors :

ψ((0,1),(0,1)) = 0, ce qui est une obstruction `a l’aspect d´efini.

6.La formule :

< x, y >=

r

X

i=1

ψ_i(x)ψ_i(y),

d´efinit une forme bilin´eaire sym´etrique, telle que < x, x > est positif pour tout x. Si on suppose que c’est un produit scalaire, alors pour tout x non nul,< x, x >est strictement positif, donc l’un des termesψ_i(x) est non nul.

Tout vecteur non nul est en dehors du noyau d’au moins un des ψ_i. Ainsi, l’intersection U des noyaux des ψ_i est r´eduite au vecteur nul. Supposons que le sous-espaceV deE^∗ engendr´e par la famille (ψi) soit de dimensions (avec dons≤n). Alors, l’intersection U est encore ´egale `a l’intersection des noyaux d’une base deV (v´erifiez !), c’est-`a-dire `a l’intersection des noyaux de s formes lin´eaires. On invoque pour conclure le fait g´en´eral, d´emontr´e ci-dessous : l’intersection des noyaux desformes lin´eaires est de dimension au moinsn−s. PuisqueU est de dimension 0, cela donne 0≥n−set donc s≥n, puis s=n, soit encore V =E^∗.

Pour deux sous-espaces vectoriels F etGd’un espace de dimension finie E, on a :

dim (F +G) = dimF+ dimG− dimF∩G.

En particulier, si F est un hyperplan (de dimension n−1), si G est de dimensiond, alors le sous-espace F+GcontientF donc est de dimensionn oun−1 :

dimF ∩G=n−1 +t−

n−1

n .

AinsiF∩Gest de dimensiontout−1 ; de dimension au moinst−1 est ce qui nous int´eresse. Le noyau d’une forme lin´eaire est un hyperplan, l’intersection de deux tels noyaux est par ce qui pr´ec`ede de dimension au moins n−2, puis, par r´ecurrence, l’intersection des noyaux de s formes lin´eaires est de dimension au moinsn−s.

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