Universit´e Lille I L3 Maths
2013-2014 M-52
6 - CONNEXITE
Quizz Exercice 1
Les espaces suivants sont-ils connexes ? Connexes par arcs ? 1. unK-espace vectoriel norm´e ;
2. une boule dans unK-espace vectoriel norm´e ; 3. {(x, y)∈R2/ x6=y}.
Exercice 2
Soitf :R→Rune fonction continue. Son graphe Γf ={(x, f(x))/ x∈R} ⊂R2est-il connexe par arcs ?
Pour s’entraˆıner Exercice 3
Soitf : [a;b]→Cune fonction continue.
1. On suppose que ∀t ∈ [a;b], f(t)2 = 1. Montrer que f est ou bien constante ´egale `a 1, ou bien constante ´egale `a -1.
2. Que peut-on dire si∀t∈[a;b],eif(t)= 1 ?
Exercice 4
SoitE unK-espace vectoriel norm´e. Montrer qu’une partie convexe deE est connexe par arcs, mais que la r´eciproque est fausse en dimension sup´erieure ou ´egale `a deux.
Exercice 5
Montrer que les parties suivantes ne sont pas hom´eomorphes : 1. Ret R\ {x0};
2. le cercle C(0,1)⊂R2 et un intervalle deR.
Les essentiels Exercice 6
Montrer que R2\ {x0} est connexe par arcs. En d´eduire, en raisonnant par l’absurde, queR n’est pas hom´eomorphe `a R2.
Exercice 7
Soit E un K-espace vectoriel norm´e de dimension sup´erieure ou ´egale `a deux. Montrer que pour toute fonction continue f : S(0,1) → R, il existe w ∈ S(0,1) tel que f(w) = f(−w) (on pourra introduire g(w) =f(w)−f(−w)).
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Exercice 8
On notez={0} ×[−1; 1]∪[−1; 1]× {0}, muni de la topologie induite par R2. 1. Montrer quez est compact et connexe.
2. Montrer que sif :z→Rest continue, alorsf(z) est un segment.
3. D´eterminer les pointsx∈z pour lesquelsz\ {x} est connexe.
4. Montrer quez n’est hom´eomorphe `a aucune partie deR.
Exercice 9
Montrer queGLn(R) n’est pas connexe, mais queGLn(C) est connexe par arcs.
Pour aller plus loin Exercice 10
SoitO un ouvert d’unK-espace vectoriel norm´eE.
1. Montrer que, pour toutx∈O,{y∈O/∃γ∈ C([0; 1], O), γ(0) =x, γ(1) =y} est un ouvert deE.
En d´eduire une partition deO en ouverts disjoints.
2. Montrer queO est connexe si et seulement siO est connexe par arcs.
Exercice 11
SoitP une partie d´enombrable deR2. Montrer que le compl´ementaire deP est connexe par arcs.
Exercice 12 – Rattrapage, juin 2013
Le planR2 est muni de la norme euclidienne k · k. On noteBF(0, r) la boule ferm´ee dansR2 centr´ee `a l’origine et de rayonr >0, et Ωr=R2\BF(0, r) son compl´ementaire dans R2.
Soitf :R2→Rune fonction continue.
a) V´erifier que si x, y ∈ BF(0, r) et t ∈ [0; 1], alors ((1−t)x+ty) ∈ BF(0, r), et en d´eduire que f(BF(0, r)) est connexe.
b) Montrer que Ωr est connexe par arcs (on pourra s’aider d’un dessin,sans oublier de le justifier), puis quef(Ωr) est connexe.
c) Montrer quef(BF(0, r)) etf(Ωr) sont des intervalles deR, puis qu’il existe des r´eelsar≤brtels que f(R2) = [ar;br]∪f(Ωr).
d) On suppose de plus quef est surjective. Montrer que∀r >0, f(Ωr) =R. En d´eduire que pour tout c∈R, on peut construire une suite (xn)n d’´el´ements deR2 telle quekxnk →+∞et∀n, f(xn) =c.
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