TD sur: Diagonalisation
Exercices ` a chercher
. Exercice 1 :
Soit f l’endomorphisme de R2[X] suivant : f :
(
R2[X] →R2[X]
a+bX+cX2 7→(3a−2b−2c) + (5a−8b−7c)X+ (−4a+ 8b+ 7c)X2 Donner les ´el´ements propres de f.
. Exercice 2 :
Soit f l’endomorphisme de R1[X] d´efini par :
∀(x, y)∈R2, f(x+yX) = (x+ 2y)X+ (x+ 2y) . 1. Chercher les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.
2. f est-elle bijective ? . Exercice 3 :
Soit A la matrice
4 2 1 3
. On consid`ere les suites (un)n∈
N et (vn)n∈
N d´efinies par u0 = 1 et v0 = 2 et telles que :
∀n∈N,
un+1 = 4un+ 2vn vn+1 = un+ 3vn 1. Diagonaliser A.
2. En d´eduire, pour tout entier naturel n, An. 3. Expliciter (un)n∈N et (vn)n∈N.
. Exercice 4 :
On note P =X3 −6X2+ 11X−6. Soit A la matrice suivante : A=
4 2 −2
−8 −3 6
−5 −2 5
.
1. Trouver les racines de P. 2. Calculer P(A).
3. Que peut-on en d´eduire en ce qui concerne les valeurs propres de A?
4. La matrice A est-elle diagonalisable ? Si c’est le cas, donner des matrices P inversible et ∆ diagonale telles que A=P ×∆×P−1.
. Exercice 5 :
On consid`ere l’application suivante : ψ :
(C∞(R,R) - C∞(R,R)
f - f0
1. Montrer queψ est lin´eaire.
2. D´eterminer ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
. Exercice 6 :
On consid`ere l’application suivante : u:
(
Rn[X] →Rn[X]
P 7→X×(P (X)−P(X−1)) On consid`ere la famille de polynˆome (P0, ..., Pn) d´efinie par :
P0 = 1 et pour tout k ∈[[0, n]] : Pk =X×(X−1)...×(X−k+ 1). 1. Montrer queu est lin´eaire.
2. Montrer que (P0, ..., Pn) est une base de Rn[X].
3. (a) Montrer que, pour tout k ∈[[0, n]],u(Pk) =kPk.
(b) En d´eduire les valeurs propres et les vecteurs propres de u.
(c) En d´eduire Ker(u) et Im (u).
4. u est-elle diagonalisable ? . Exercice 7 :
Soient A etB les matrices suivantes : A=
0 0 1
0 0 −1
1 −1 −1
et B =
1 −1 0
−1 1 0
0 0 2
.
1. Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres deA et B.
2. Montrer qu’elles sont diagonalisables avec la mˆeme matrice de passage P que l’on pr´ecisera.
3. En d´eduire les valeurs propres de la matrice M(a, b) =
b −b a
−b b −a a −a 2b−a
o`u a et b sont deux r´eels quelconques.
Exercices ` a faire pendant la classe
- Exercice 8 : Soit la matrice P =
0 2 −3
3 −5 9 2 −4 7
.
1. Trouver un polynˆome R de degr´e 2 tel que R(P) = 0.
2. En d´eduire les valeurs propres de P et donner les sous-espaces propres associ´es.
3. Caract´eriser l’endomorphisme de R3 canoniquement associ´e `a la matrice P. - Exercice 9 :
Soit n un entier naturel. On consid`ere l’application suivante : ψ :
(
Rn[X] - Rn[X]
P - P0
1. Expliciter ψn+1.
2. En d´eduire la valeur propre deψ.
3. ψ est-il diagonalisable ?
4. ´Ecrire la matrice de ψ dans la base canonique.
5. Montrer que pour tout r´eel non nul a et tout polynˆome Q de Rn[X], il existe un unique polynˆome P deRn[X] tel que P0+aP =Q.
- Exercice 10 :
SoientM la matrice suivante
3 1 1 3
etf l’endomorphisme deR2 canoniquement associ´e `aM. On note N une matrice d’ordre 2 qui commutent avec M et g l’endomorphisme de R2 canoniquement associ´e `a N.
1. Diagonaliser M.
2. Montrer que les sous-espaces propres de f sont stables par g.
3. En d´eduire que N est diagonalisable.
4. D´eterminer toutes les matricesA telles que A4 =M.
Exercices bonus
M Exercice 11 :
On consid`ere les matrices suivantes : M1 =
1 0 0
0 3 0
0 0 −1
et M2 =
1 0 1 0 3 0 1 0 1
1. D´eterminer les vecteurs propres et les valeurs propres deM1 et M2. 2. Ces matrices sont-elles diagonalisables ?
