Diagonalisation
TD13
Diagonalisation
Exercice 13.1 (F)
À l’aide des commandesspec etrank donnant respectivement le spectre et le rang d’une matrice, déterminer en utilisantScilabsi les matrices suivantes sont diagonalisables.
A=
0 1 −1
2 1 1
−2 −1 −1
, B=
−1 2 −1
−3 4 −1
0 0 2
, C=
1 −12 2
1 1 1
4 8 3
, D=
−5 6 3
−3 4 3
−3 6 1
.
Exercice 13.2 (F)
Déterminer par le moins de calcul possible si les matrices suivantes sont diagonalisables.
A=
−1 7 0 −1
, B=
−1 7
0 1
, C=
1 0 0
0 −1 1
0 0 2
, D=
2 −1 1
0 1 1
0 0 2
E=
1 0 0 0 2 1 0 1 2
, F =
1 0 0 0 2 1 0 0 2
, G=
1 −1 1
0 1 1
0 0 1
.
Exercice 13.3 (F)
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables dansR? dansC? Si oui, les diagonaliser et expliciter la matrice de passage. Afin de vérifier ses calculs sur Scilab, on pourra utiliser la commande [P,D] = spec(A)qui àA associe deux matricesP etD telles queP−1AP =D.
A= 2 4
1 −1
, B=
1 −1
1 1
, C=
3 0 1
−1 2 −1
−2 0 0
, D=
−4 0 −2
0 1 0
5 1 3
, E=
3 1 −1
0 4 0
−1 1 3
.
Exercice 13.4 (FF)
Soienta, b∈R. DansMn(R), on pose :
M =
a b . . . b b ... ... ...
... ... ... b b . . . b a
et J=
1 1 . . . 1 1 ... ... ...
... ... ... 1 1 . . . 1 1
1. Montrer qu’il existe une matrice ∆ diagonale et une matrice P inversible telle que J = P∆P−1. On explicitera ∆ etP.
2. Écrire M comme combinaison linéaire deIn et J. En déduire que M est diagonalisable, et déterminer une matrice diagonale semblable àM.
Exercice 13.5 (FF)
SoitF l’espace vectoriel des fonctions définies surRà valeurs réelles etEle sous-espace vectoriel deF engendré par la famille (f0, f1, f2, f3) oùfk:x7→xke−x pourk= 0,1,2,3.
1. Montrer queB est une base deE. En déduire la dimension deE. 2. SoitD l’application définie surE par :
∀f ∈E, D(f) =f0 oùf0 désigne la dérivée première def.
Montrer queD est un endomorphisme deE et écrire sa matriceM dans la baseB.
3. M est-elle inversible ? diagonalisable ?
Exercice 13.6 (FF)
Soitf l’application définie surRn[X] parf(P)(X) =XP0(X+ 1).
1. Montrer quef est un endomorphisme deRn[X].
2. Déterminer la matrice de f dans la base canonique deRn[X].
3. f est-elle diagonalisable ?
Exercice 13.7 (FF)
Soient (a, b, c)∈R3. Pour quelles valeurs dea,bet cla matrice
1 a 1 0 b c 0 0 2
est-elle diagonalisable ?
Exercice 13.8 (FFF)
SoitE un espace vectoriel de dimension finien, et soit f ∈L(E) un endomorphisme de rang 1. Soit B une base deE et A=MB(f).
1. Montrer qu’il existe une baseB0deEdans laquelle la matrice def est de la formeM =
0 . . . 0 α1 ... ... α2
... ... ...
0 . . . 0 αn
.
2. Montrer queM est diagonalisable si et seulement siαn6= 0.
3. En déduire quef est diagonalisable si et seulement siT r(A)6= 0.
1. Puisquef est de rang 1, on a dim(Ker(f)) =n−1 par le théorème du rang. Soit alors (e1, . . . , en−1) une base de Ker(f). C’est une famille libre de E qu’on complète enB0 = (e1, . . . , en−1, en) une base de E. Et on a dans cette basef(ei) = 0E pour tout 1 ≤i ≤n. En notant (α1, . . . , αn) les coordonnées def(en) dans la baseB0, on en déduit que :
MB0(f) =
0 . . . 0 α1
... ... α2
... ... ...
0 . . . 0 αn
2. Puisque M est triangulaire supérieure, ses valeurs propres sont sur la diagonale, de sorte que Sp(M) ={0, αn}. On a deux cas alors :
• Siαn = 0, alorsM a une unique valeur propre 0. Elle est donc diagonalisable si et seulement siM = 0n. Or M 6= 0n car elle est de rang 1. DoncM n’est pas diagonalisable dans ce cas.
• Siαn 6= 0, alorsM a deux valeurs propres 0 et αn. En particulier, on a dimEαn(M)≥1 et dimE0(M) =n−1. On obtient que :
1 + (n−1)≤dimEαn(M) + dimE0(M)≤n.
On a donc dimEαn(M) + dimE0(M) =n, et la matriceM est bien diagonalisable dans ce cas.
3. Rappelons deux matrices semblables ont même trace. On en déduit que αn = T r(M) = T r(A).
Ainsi on a :
T r(A)6= 0⇔M diagonalisable ⇔f diagonalisable.
Exercice 13.9 (FFF - QSP HEC 2016 - )
Soitn un entier supérieur ou égal à 1. SoitA et B deux matrices carrées d’ordren, diagonalisables et ayant chacunenvaleurs propres distinctes.
Montrer que les matricesAet B commutent si et seulement si elles sont diagonalisables avec la même matrice de passage.
⇒ Idée. Lorsque deux matrices ou endomorphismes commutent, les sous-espaces propres de l’un sont stables par l’autre.
PuisqueAest diagonalisable avecnvaleurs propres distinctesλ1, . . . , λn, on sait alors que les sous- espaces propres sont tous de dimension 1. De plus, si on noteXi∈Mn,1(K) un vecteur propre deA associé à la valeur propreλ1, alors (X1, . . . , Xn) est une base deMn,1(K) formée de vecteurs propres deA. Vérifions que ce sont bien des vecteurs propres aussi pourB. Pour touti∈J1, nK, on a :
A(BXi) = (AB)Xi =
les matrices commutent(BA)Xi=B(AXi) =B(λiXi) =λiBXi.
Ainsi BXi appartient au sous-espace propre Eλi(A) = V ect(Xi). On retrouve ainsi le résultat évoqué plus haut : Eλi(A) est stable parB. Il existe donc un scalaireµi tel que :
BXi=µiXi.
AinsiXi est un vecteur propre deB pour la valeur propreµi. Ceci étant vrai pour tout 1≤i≤n, on en déduit que (X1, . . . , Xn) est aussi une base deMn,1(K) formée de vecteurs propres de B. Si on noteP = (X1|. . .|Xn) la matrice de passage de la base canonique queMn,1(K) à (X1, . . . , Xn), on a donc que :
P−1AP =
λ1 0
...
0 λn
et P−1BP =
µ1 0
...
0 µn
.
⇐ Supposons qu’il existeP inversible telle que :
P−1AP =
λ1 0
...
0 λn
=D1 et P−1BP =
µ1 0
...
0 µn
=D2. Alors on a :
AB=P D1P−1P D2P−1=P D1D2P−1==
(∗)P D2D1P−1=P D2P−1P D1P−1=BA car (∗) deux matrices diagonales commutent. Ainsi les matricesAet B commutent bien.
Exercice 13.10 (FFF)
SoientX etY des variables aléatoires indépendantes sur (Ω,A, P) suivant une loi géométriqueG(p),p∈]0,1[.
Déterminer la probabilité que la matrice
X 0
X+Y Y
soit diagonalisable.
Commençons par noter que X(Ω) = Y(Ω) = N∗. Étudions la diagonalisabilité de la matrice Ak,` = k 0
k+` `
avec k, ` ∈ N∗. Cette matrice étant triangulaire inférieure, ses valeurs propres sont sur la diagonale. Donc on a Sp(Ak,`) ={k, `}. Deux cas sont alors possibles :
• sik6=`, alors la matriceAk,` a deux valeurs propres distinctes, et est de taille 2×2. Elle est donc
diagonalisable.
• sik=`, alors la matriceAk,`a une unique valeur propre. Elle est donc diagonalisable si et seulement siAk,k=kI2. Or ce n’est pas le cas cark+`6= 0.
Ainsi la matrice Ak,` est diagonalisable si et seulement sik6=`. La probabilité que la matrice
X 0 X+Y Y
soit diagonalisable est doncP(X 6=Y). À l’aide de la FPT avec le SCE ([Y =`])`∈N∗, on obtient :
P(X 6=Y) = 1−P(X=Y) = 1−
+∞
X
`=1
P(X =Y, Y =`)
= 1−
+∞
X
`=1
P(X=`, Y =`)
= 1−
+∞
X
`=1
P(X=`)P(Y =`) car les va sont indép.
= 1−p2
+∞
X
`=1
((1−p)2)`−1
= 1− p2
1−(1−p)2 = 2p−2p2 2p−p2
Exercice 13.11 (FFFF - Oral ESCP 2007)
Soitnun entier naturel non nul etQun polynôme à coefficients réels de degréd≤n. On définit l’application suivante :
ϕ: (
Rn[X]→Rn[X] P 7→(P Q)(n)
où (P Q)(n)indique que l’on prend la dérivée niemedu produit de P parQ. 1. Justifier queϕest un endomorphisme deRn[X].
2. Donner une CNS sur le polynôme Qpour queϕsoit un automorphisme de Rn[X].
3. Montrer que la matrice de ϕ dans la base canonique deRn[X] est triangulaire supérieure. Que dire de plus dans le cas particulier où d < n?
4. Déterminer une CNS sur le polynôme Qpour queϕsoit diagonalisable.
1. Notons tout d’abord que pour toutP ∈Rn[X],P Qest de degré≤n+d≤2n, et donc (P Q)(n) est de degré≤n. Doncϕest à valeurs dansRn[X]. On montre de plus facilement queϕest linéaire en utilisant que la dérivation est linéaire (faites le !).
Doncϕest un endomorphisme deRn[X].
2. Si deg(Q)< n, on aϕ(1) = (Q)(n)= 0 et donc 0∈Ker(ϕ). Doncϕn’est pas injectif. Ce n’est donc pas un automorphisme.
Supposons que deg(Q) =nà présent. Alors pour toutk∈J0, nK, XkQest de degrék+n, et donc ϕ(Xk) est de degrék. Ainsi (ϕ(1), . . . , ϕ(Xn)) est une famille de polynômes échelonnée en degrés.
Elle est donc libre, de cardinaln+ 1. C’est donc une base de Rn[X]. Ainsi l’image d’une base par ϕest une base. ϕest donc bien un automorphisme deRn[X].
3. Pour tout k ∈ J0, nK, XkQ est de degré k+d, et donc ϕ(Xk) est de degré inférieur ou égal à k+d−n≤k. Donc la matrice de ϕdans la base canonique est bien triangulaire supérieure.
Si de plusd < n, alors le degré de ϕ(Xk) est strictement plus petit que k. Donc la matrice deϕ dans la base canonique est triangulaire supérieure stricte.
4. Si deg(Q)< n, on vient de voir que la matrice deϕdans la base canonique est triangulaire supérieure stricte. Elle admet donc une unique valeur propre qui est 0. Alorsϕest diagonalisable dans ce cas si et seulement siϕ= 0. Or c’est le cas si et seulement siQ= 0. En effet il est clair que siQ= 0, alorsϕ= 0. Sid >0, alors on aϕ(Xn) de degréd >0 et donc non nul.
Supposons à présent deg(Q) = n, et notons ason coefficient dominant. La matrice de ϕ dans la base canonique est donc triangulaire supérieure. Les valeurs propres de ϕ sont alors exactement les coefficients diagonaux. Déterminons les. Pour tout k ∈ J0, nK, XkQ est de degré k+n et de coefficient dominant aXk+n. D’où en dérivant n fois ce polynôme, ϕ(Xn) est de degré k et de coefficient dominant :
(k+n)(k+n−1). . .(k+ 1)aXk =(k+n)!
k! aXk. Ainsi les valeurs propres deϕsont :
an!, a(n+ 1)!
1 , a(n+ 2)!
2! . . . , a(2n)!
n! .
Or ces valeurs propres sont deux à deux distinctes (on peut par exemple remarquer que n! <
(n+ 1)!
1 < (n+ 2)!
2! · · ·<(2n)!
n! ). Doncϕan+1 valeurs propres distinctes, et est un endomorphisme d’un espace de dimensionn+ 1. ϕest donc bien diagonalisable.
Utilisation de polynômes annulateurs
Exercice 13.12 (F) Considérons la matriceA=
3 2 −2
−1 0 1
1 1 0
.
1. Trouver une relation entreA2,A etI3.
2. Montrer queA admet une seule valeur propreλ. A est-elle diagonalisable ?
Exercice 13.13 (FF)
Soitf :Mn(R)→Mn(R) l’endomorphisme défini parf(A) = tA.
1. Calculerf2. En déduire un polynôme annulateur def et les valeurs propres def. 2. f est-il diagonalisable ?
Exercice 13.14 (FF)
SoitA= (ai,j)∈Mn(R) la matrice définie parai,j= i j.
1. CalculerA2. En déduire un polynôme annulateur deA, puis queSp(A)⊂ {0, n}.
2. Déterminer rg(A). En déduire que 0 est valeur propre de A, et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
3. Résoudre le systèmeAX=nX, d’inconnueX ∈Mn,1(R). En déduire queAest diagonalisable.
1. Si on note (ci,j) les coefficients deA2, on a pour tout i, k∈J1, nK:
ci,k =
n
X
j=1
ai,jaj,k=
n
X
j=1
i j j k ==
n
X
j=1
i k =ni
k.
Ainsi on aA2=nA, etX2−nX est un polynôme annulateur de A. Les valeurs propres deAsont donc parmi les racines de ce polynôme, c’est à dire 0 oun.
2. On a pour tout j ∈ J1, nK, Lj =jL1. Donc A est de rang 1. Donc 0 est valeur propre de A et
dimE0(A) =n−1.
3. On a :
AX=nX ⇔
x1+x2
2 +· · ·+xn n =nx1 x1+x2
2 +· · ·+xn n = n
2x2 . . .
x1+x2
2 +· · ·+xn n = n
nxn
⇔
x1+x2
2 +· · ·+xn
n =nx1
x1=x2
2 =· · ·= xn n
⇔x1=x2
2 =· · ·=xn
n
On en déduit que En(A) =
x1
2x1
...
nx1
, x1∈R
= V ect
12 ...
n
. Ainsi on a dimE0(A) +
dimEn(A) = (n−1) + 1 =n, etAest bien diagonalisable, semblable à
0
0 n
.
Exercice 13.15 (FF - QSP HEC 2005)
Une matriceN ∈Mn(R) est dite nilpotente s’il existe une puissancep∈N∗ telle queNp= 0n. À quelle condition une matrice nilpotente est-elle diagonalisable ?
Exercice 13.16 (FFF - QSP ESCP 2015)
Soitf un endomorphisme d’un espace vectorielEde dimension finien≥1, eta, bdeux scalaires distincts. On suppose que :
(f−aIdE)3◦(f−bIdE) = 0L(E) et (f −aIdE)2◦(f −bIdE)6= 0L(E). Étudier la diagonalisabilité def.
Exercice 13.17 (FFFF - Oral ESCP 2011 -)
Soitn un entier supérieur ou égal à 2, etE unK-espace vectoriel de dimension n(avecK=RouC). Soitu un endomorphisme deE. On noteidl’endomorphisme identité deE.
On souhaite montrer le résultat suivant :
udiagonalisable ⇔ uannule un polynôme scindé à racines simples dansK.
1. On suppose dans cette question que u est diagonalisable. On note {λ1, λ2, . . . , λk} l’ensemble de ses valeurs propres. Montrer que le polynôme m(X) = (X−λ1)(X−λ2). . .(X−λk) est annulateur deu. 2. Soitf etg deux endomorphismes deE. En considérant la restriction def àKer(g◦f), montrer que :
dim Ker(g◦f)≤dim Ker(f) + dim Ker(g). On suppose dans la suite de l’exercice qu’il existe un polynôme :
P(X) = (X−λ1)(X−λ2). . .(X−λk) annulateur de u, oùλ1, λ2, . . . , λk∈Ksont des scalaires distincts.
3. (a) Montrer quen≤
k
X
j=1
dim Ker(u−λjid).
(b) En déduire que l’endomorphismeuest diagonalisable.
4. Applications.
(a) Soit u un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel E de dimension finie, et soit F un sous-espace stable paru. Montrer que l’endomorphisme ˜uinduit parusurF est diagonalisable.
(b) SoitA∈GLn(C) telle queA2 est diagonalisable. Montrer queAest diagonalisable.
1. La preuve a été faite en cours.
2. Considérons ˜f : Ker(g◦f)→E. On a :
Ker( ˜f) ={x∈Ker(g◦f), f˜(x) = 0}={x∈Ker(g◦f), f(x) = 0}
= Ker(g◦f)∩Ker(f) = Ker(f) car Ker(f)⊂Ker(g◦f). D’autre part, on a :
Im( ˜f) ={f˜(y), y∈Ker(g◦f)}={f(y), y∈Ker(g◦f)} ⊂Ker(g). Ainsi on a par le théorème du rang appliqué à ˜f :
dim Ker(g◦f) = dim Ker( ˜f) + dim Im( ˜f)≤dim Ker(f) + dim Im(f). 3. (a) On note toujoursλ1, . . . , λk les valeurs propres deu. Notonsui =u−λiIdE. On a :
0L(E)=P(u) =u1◦ · · · ◦uk.
D’où en appliquant la propriété précédente (en généralisant par récurrence à une famille den endomorphismes) :
n= dim Keru1◦ · · · ◦uk ≤
k
X
i=1
dim Ker(ui)
(b) Comme de plus on a
k
X
j=1
dim Ker(u−λjid)≤nd’après le cours, on en déduit que :
k
X
j=1
dim Ker(u−λjid) =n.
4. (a) Supposons u diagonalisable. D’après ce qu’on a démontré, il annule un polynôme scindé à racines simplesP, soitP(u) = 0L(E). Mais alors, on a pour toutx∈F :
P(˜u)(x) =P(u)(x) = 0E.
Donc on aP(˜u) = 0L(F), et ˜uadmet un polynôme annulateur scindé à racines simples égale- ment. Donc ˜uest bien diagonalisable.
(b) PuisqueA2 est diagonalisable, il annule le polynôme
P(X) =
k
Y
i=1
(X−λi)
oùλ1, . . . , λk sont les valeurs propres distinctes deA2. En particulier, puisqueAest inversible, A2 l’est aussi et lesλi sont non nuls.
PuisqueP(A2) = 0n, le polynôme
Q(X) =P(X2) =
k
Y
j=1
(X2−λj)
est annulateur de A. Ce polynôme est scindé sur C par le théorème de d’Alembert Gauss.
Montrons que ce polynôme à racines simples. Pour toutj∈J1, kK,λj6= 0 et s’écrit sous forme
trigonométrique λj =rjeiθj. λj admet donc deux racines carrées qui sontµj =√
rjeiθj/2 et
−µj. On obtient donc :
Q(X) =
k
Y
j=1
(X−µj)(X+µj)
Toutes les racines de Q sont bien distinctes : en effet on a µj 6= 0 pour toutj, et si j 6=k, µ2j =λj6=λk=µ2k, doncµj 6=±µk.
AinsiA annule un polynôme scindé à racines simples. Aest donc bien diagonalisable.
Applications de la diagonalisation
Exercice 13.18 (F)
On considère la suite (un)n∈Ndéfinie par
u0= 4, u1= 2, u2=−3
∀n∈N, un+3= 2un+2+un+1−2un. Pour toutn∈N, on noteXn la matrice colonneXn =
un
un+1
un+2
.
1. Déterminer une matriceA∈M3(R) telle que pour toutn∈N,Xn+1=AXn. 2. En déduire que∀n∈N,Xn=AnX0.
3. CalculerA3−2A2−A. En déduire un polynôme annulateur deA, puis montrer queAest diagonalisable.
4. En déduire qu’il existe trois réelsλ, µ, ν tels que ∀n∈N,un=λ+µ(−1)n+ν2n. 5. En déduire l’expression deun en fonction denpour toutn∈N.
Exercice 13.19 (FF - Racine carrée d’une matrice) SoitC=
9 0 0 0 4 0 0 0 1
.
1. Montrer que siM ∈M3(R) commute avecC, alorsM est diagonale.
2. On cherche à résoudre l’équation matricielleD2=Cd’inconnue D∈M3(R).
(a) Montrer que siD2=C, alorsD est diagonale.
(b) Déterminer l’ensemble des matricesD∈M3(R) telles queD2=C.
3. SoitA=
9 0 0
−5 4 0
8 0 1
. Déterminer l’ensemble des matricesB deM3(R) telles queB2=A.
Exercice 13.20 (FF)
Les matrices suivantes sont-elles semblables dansM3(R) ? On pourra éventuellement s’aider deScilab pour les calculs.
1. A=
0 1
−1 0
,B=
0 −1
2 0
.
2. A=
−1 1 −3
−1 1 −2
0 0 0
,B =
0 0 0
−3 0 −1
0 0 0
.
3. A=
1 3 −4
0 −5 2
0 0 −1
,B=
−5 0 0 8 −1 0
10 4 1
.
4. A=
−3 4 −4
−2 3 −2
0 0 1
,B=
−1 0 0
6 1 0
6 0 1
.
On utilisera que deux matrices diagonalisablesA etB sont semblables si et seulement siSp(A) =Sp(B) et pour tout λvaleur propre, dimEλ(A) = dimEλ(B).
