St. Joseph/ICAM Toulouse CB3 - 2017-2018 - Correction
CB n
◦3 - Diagonalisation - Sujet 1
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables ? Justifier la réponse.
1. A=
1 2 −1 3 −2 1 0 4 −2
On a : χA=X(X−2)(X+ 5). Le polynôme caractéristique de Aest scindé à racines simples.
On en déduit que la matriceA est diagonalisable.
2. B =
3 −1 1
0 2 2
−1 1 3
On a : χB= (X−4)(X−2)2. De plus,B−2I3 =
1 −1 1
0 0 2
−1 1 1
∼
1 −1 1
0 0 2
0 0 2
, donc rg(B−2I3) = 2, d’où :
dim(E2)< m(2).
On en déduit que la matriceB n’est pas diagonalisable.
3. C=
5 −4 −4
0 1 0
2 −2 −1
On a : χC = (X−3)(X−1)2. De plus,C−I3=
4 −4 −4
0 0 0
2 −2 −2
∼
1 −1 −1
0 0 0
0 0 0
, donc rg(C−I3) = 1, d’où : dim(E1) =m(1) = 2et dim(E3) =m(3) = 1.
On en déduit que la matriceC est diagonalisable.
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St. Joseph/ICAM Toulouse CB3 - 2017-2018 - Correction
CB n
◦3 - Diagonalisation - Sujet 2
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables ? Justifier la réponse.
1. A=
3 −1 1 7 −5 1 6 −6 2
On a : χA= (X+ 4)(X−2)2. De plus,A−2I3 =
1 −1 1 7 −7 1 6 −6 0
∼
1 −1 1
0 0 −6
0 0 −6
, donc rg(A−2I3) = 2, d’où :
dim(E2)< m(2).
On en déduit que la matriceA n’est pas diagonalisable.
2. B =
1 3 0
2 −2 4
−1 1 −2
On a :χB=X(X−2)(X+ 5). Le polynôme caractéristique de B est scindé à racines simples.
On en déduit que la matriceB est diagonalisable.
3. C=
3 −1 −2
0 2 0
2 −2 −2
On a : χC = (X+ 1)(X−2)2. De plus,C−2I3 =
1 −1 −2
0 0 0
2 −2 −4
∼
1 −1 −2
0 0 0
0 0 0
, donc rg(C−2I3) = 1, d’où :
dim(E2) =m(2) = 2et dim(E−1) =m(−1) = 1.
On en déduit que la matriceC est diagonalisable.
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