Diagonalisation et fractions simples
M. Rigo, mars 2018
La phyllotaxie est l’ordre dans lequel sont implantés les feuilles ou les rameaux sur la tige d’une plante, ou, par extension, la disposition des éléments d’un fruit, d’une fleur, d’un bourgeon. (Wikipedia)
La phyllotaxie désigne également la science qui étudie ces arrangements.
http://curiosamathematica.tumblr.com/post/114294953296/golden-ratio-in-phyllotaxis
http://scotton.freeshell.org/phyllo/phyllo.html
http://www.brainkart.com/article/Morphology-of-the-Stem_17042/
Nombre de tours / nombre de feuilles avant de retrouver la même configuration
Soft Condensed Matter, arXiv:1203.6257
Fibonacci numbers in phyllotaxis, Gilbert Zalczer
Service de Physique de l’Etat Condensé, Saclay, Gif-sur-Yvette
[…] very elaborate models, considering that the appearance of a new leaf is conditioned by a repulsive potential created by all the previous ones, writing down explicit forms for the model potential, the growth law and the conditions of
appearance and computing or simulating the solutions [...]
S. Douady and Y. Couder, J. Theor. Biol. 178, 255 (1996)
F . 2. Sketch of the experimental apparatus. Drops of ferrofluid are used to simulate the
primordia. The drops (of volume v110 mm3) fall with a tunable periodicity T at the centre of a horizontal teflon dish. The vertical magnetic field H is created by two coils in the Helmholtz position. The dipoles are radially advected with velocity V by the magnetic field gradient
(controlled by the currents I1 and I2 in the two coils). The drops ultimately fall into a deep ditch at the periphery, designed to prevent accumulation.
Typical phyllotactic patterns formed by the ferrofluid drops for different values of the control parameter G.
The drops are visible as dark dots.
The tube for the ferrofluid supply
partially hides the central truncated
cone. The drops are numbered in
their order of formation.
Doodling in Math: Spirals, Fibonacci, and Being a P lant [1 of 3]
https ://youtu.be/ahXIMUkSXX0
Suite de Fibonacci (Leonardo de Pise ≃1175–1250)
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, . . . Fn+2 =Fn+1+Fn ∀n ≥0
F0 =F1= 1
Peut-on trouver une formule “close” pour Fn ?
Matrice compagnon Fn+2
Fn+1
= 1 1
1 0
Fn+1 Fn
Fn+1 Fn
= 1 1
1 0 n
F1 F0
= 1 1
1 0 n
1 1
Exprimer la puissancen-i`eme d’une matrice. . .
Matrice compagnon Fn+2
Fn+1
= 1 1
1 0
Fn+1 Fn
Fn+1 Fn
= 1 1
1 0 n
F1 F0
= 1 1
1 0 n
1 1
Exprimer la puissancen-i`eme d’une matrice. . .
χ(λ) = det
1−λ 1 1 −λ
=λ2−λ−1 2 valeurs propres simples :
ϕ= 1 2
1 +√ 5
et ϕ′ = 1 2
1−√ 5
S =
ϕ ϕ′ 1 1
S−1 1 1
1 0
S =
ϕ 0 0 ϕ′
S−1 1 1
1 0
S =
ϕ 0 0 ϕ′
1 1 1 0
=S
ϕ 0 0 ϕ′
S−1
1 1 1 0
n
=S
ϕn 0 0 ϕ′n
S−1
1 1 1 0
n
=
ϕn+1−ϕ′n+1
√5
ϕn−ϕ′n
√5 ϕn−ϕ′n
√5
ϕ ϕ′n−ϕ′ϕn
√5
!
On retrouve le fait que les ´el´ements de Mn s’expriment comme combinaisons lin´eaires de puissances n-i`emes des valeurs propres de M.
S−1 1 1
1 0
S =
ϕ 0 0 ϕ′
1 1 1 0
=S
ϕ 0 0 ϕ′
S−1
1 1 1 0
n
=S
ϕn 0 0 ϕ′n
S−1
1 1 1 0
n
=
ϕn+1−ϕ′n+1
√5
ϕn−ϕ′n
√5 ϕn−ϕ′n
√5
ϕ ϕ′n−ϕ′ϕn
√5
!
On retrouve le fait que les ´el´ements de Mn s’expriment comme combinaisons lin´eaires de puissances n-i`emes des valeurs propres de M.
S−1 1 1
1 0
S =
ϕ 0 0 ϕ′
1 1 1 0
=S
ϕ 0 0 ϕ′
S−1
1 1 1 0
n
=S
ϕn 0 0 ϕ′n
S−1
1 1 1 0
n
=
ϕn+1−ϕ′n+1
√5
ϕn−ϕ′n
√5 ϕn−ϕ′n
√5
ϕ ϕ′n−ϕ′ϕn
√5
!
On retrouve le fait que les ´el´ements de Mn s’expriment comme combinaisons lin´eaires de puissances n-i`emes des valeurs propres de M.
∀n ≥0,
Fn = ϕn −ϕ′n
√5 +ϕ ϕ′n −ϕ′ϕn
√5
Fn = (1−ϕ′)ϕn −(1−ϕ)ϕ′n
√5
Fn =
√5
5 ϕn+1−ϕ′n+1 connu parfois comme formule de Binet (1786–1856)
n→lim+∞
Fn
√5
5 ϕn+1 = 1 car
ϕ≃1,618 et ϕ′ ≃ −0,618, lim
n→+∞ϕ′n = 0.
∀n ≥0,
Fn = ϕn −ϕ′n
√5 +ϕ ϕ′n −ϕ′ϕn
√5
Fn = (1−ϕ′)ϕn −(1−ϕ)ϕ′n
√5
Fn =
√5
5 ϕn+1−ϕ′n+1 connu parfois comme formule de Binet (1786–1856)
n→lim+∞
Fn
√5
5 ϕn+1 = 1 car
ϕ≃1,618 et ϕ′ ≃ −0,618, lim
n→+∞ϕ′n = 0.
Nombre de chemins de longueur n partant de et arrivant enS
S
Nombre de mots sur {a,b} sansbb
Une s´erie “formelle” code une suite :
sF(z) =
+∞
X
n=0
Fnzn = 1 + 1.z+ 2.z2+ 3.z3+ 5.z4+ 8.z5+· · ·
Th´eor`eme
La s´erie sF est une fraction rationnelle SSI(Fn)n≥0 satisfait une relation de r´ecurrence lin´eaire.
sF(z) = 1
1−z −z2 = 1 z2χ(1/z)
D´ecomposition en fractions simples 1
1−z−z2 =
√5 5(z +ϕ) −
√5 5(z +ϕ′) 1
1−z =
+∞
X
n=0
zn
1
z+ϕ =− ϕ′
1−ϕ′z =−
+∞
X
n=0
ϕ′n+1zn
1
z+ϕ′ =− ϕ
1−ϕz =−
+∞
X
n=0
ϕn+1zn
Gn+4 = 2Gn+3+Gn+2−2Gn+1−Gn
Gn+3 Gn+2 Gn+1 Gn
=
2 1 −2 −1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
n
G3 G2 G1 G0
Nombre de chemins de longueur n partant deS et arrivant en T
S T
M =
2 1 −2 −1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
n’est pas diagonalisable!
S =
2−√
5 −32 −3 +√ 5
2 +√
5 32 3 +√ 5
1
2 3−√ 5
1−√
5 12 3 +√ 5
1 +√ 5
1
2 1−√ 5
1 12 1 +√ 5
1
1 0 1 0
Forme de Jordan
S−1MS =
ϕ′ 1 0 0 0 ϕ′ 0 0 0 0 ϕ 1 0 0 0 ϕ
Puissance n-i`eme d’un bloc de Jordan λ 1
0 λ n
=
λn nλn−1 0 λn
λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ
n
=
λn nλn−1 (n−21)nλn−2 0 λn nλn−1n
0 0 λn
