Minist` ere de l’ ´ Equipement, du Logement, des Transports et du Tourisme

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Concours Commun 1996

ENTPE, ENSG, ENTM, ENSTIMD Banque de notes pour le concours EIVP

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES OPTION Temps accord´ e : 4 heures

(4 pages) NOTATIONS

Pour p et q entiers de N , avec p 6 q, [|p, q|] d´ esigne l’ensemble des entiers compris au sens large entre p et q.

E d´ esigne un espace vectoriel de dimension finie n, n > 2, sur le corps K, avec K = R ou K = C.

Dans tout le probl` eme f d´ esigne un endomorphisme de E ; on a f ² = f ◦ f et de mˆ eme f ^k+1 = f ^k ◦ f ; I d´ esigne l’identit´ e et 0 d´ esigne l’application nulle.

Par convention, f ⁰ = I.

Si R ∈ K [X], R(X) = a 0 + a 1 X + · · · + a p X ^p , on note R(f) l’endomorphisme a 0 I + a 1 f + · · · + a p f ^p . On note alors K [f ] l’alg` ebre des polynˆ omes de f, c’est-` a-dire K [f] = {R(f ) | R ∈ K [X]}.

On note P f (X) = det (f − XI) le polynˆ ome caract´ eristique de f et on rappelle que P f (f ) = 0.

Pour une matrice M ∈ M n (K), on pourra ´ egalement introduire le polynˆ ome caract´ eristique de M d´ efini par P M (X) = det (M − XI n ) o` u I n est la matrice unit´ e de M n ( K ).

On dit que f est cyclique si, et seulement si, il existe x ₀ dans E tel que x ₀ , f (x ₀ ), . . . , f ⁿ⁻¹ (x ₀ )

soit une base de E .

On appelle commutant de f l’ensemble C (f) = {g ∈ L (E) | f ◦ g = g ◦ f }.

On admettra que C (f ) est une alg` ebre de dimension au moins n sur K . G L n (K) est l’ensemble des matriccs inversibles d’ordre n sur K.

PREMIERE PARTIE : Matrice compagne d’un endomorphisme cyclique.

I.1. Montrer que f est cyclique si et seulement si, il existe une base B de E dans laquelle f a pour matrice

C =























0 . . . . . . . . . 0 −a ₀ 1 0 . . . . . . 0 −a ₁ 0 1 . .. .. . −a ₂ .. . . .. ... ... ... .. . .. . . .. 1 0 −a n−2

0 . . . . . . 0 1 −a _n−1























avec (a ₀ , a ₁ , . . . , a n−1 ) ∈ C ⁿ .

On dira que C est la matrice compagne de f . On conserve les notations de I.1.

I.2. Soit Q(X) = X ⁿ + a n−1 X ⁿ⁻¹ + · · · + a 0 . D´ eterminer en fonction de Q le polynˆ ome P _C ca- ract´ eristique de C. On dira aussi que C est la matrice compagne de P _C .

Si f est un endomorphisme cyclique, a-t-on unicit´ e de la matrice compagne de f ?

I.3. Soit λ une valeur propre de C ; d´ eterminer la dimension du sous-espace propre associ´ e. D´ eterminer une base de ce sous-espace propre.

DEUXIEME PARTIE : Endomorphismes nilpotents.

II.4. On suppose dans cette question f ⁿ⁻¹ 6= 0 et f ⁿ = 0.

Montrer que f est cyclique et d´ eterminer sa matrice compagne.

Quelle est la dimension du noyau de f ?

II.5. On suppose maintenant f nilpotent ; c’est-` a-dire qu’il existe un entier p sup´ erieur ou ´ egal ` a 2 tel que f ^p−1 6= 0 et f ^p = 0.

On pose pour k ∈ [|0, p|], N k = ker f ^k et n k = dim N k . On suppose ´ egalement que n ₁ = 1.

1

5.a) Montrer que ∀k ∈ [|0, p − 1|] , N _k ⊂ N _k+1 et f (N _k+1 ) ⊂ N _k . 5.b) En consid´ erant l’application ϕ :

N _k+1 → N _k x 7→ f (x) montrer que : ∀k ∈ [|0, p − 1|] , n _k+1 6 n _k + 1.

5.c) Montrer par r´ ecurrence que : n k = n k+1 ⇒ ∀j > k, N j = N k . En d´ eduire que p = n et d´ eterminer n k pour k ∈ [|0, n|].

TROISIEME PARTIE : Une caract´ erisation des endomorphismes cycliques.

III.6. Montrer que si f est cyclique, (I, f, f ² , . . . , f ⁿ⁻¹ ) est libre dans L (E). Ce r´ esultat sera ´ egalement utilis´ e dans la quatri` eme partie.

On suppose, dans cette partie, que (I, f, f ² , . . . , f ⁿ⁻¹ ) est libre et on se propose de montrer que f est cyclique.

III.7. Dans cette question K = C . On factorise le polynˆ ome caract´ eristique P _f de f sous la forme : P _f (X) =

p

Q

k=1

(λ _k − X) ^m

,

o` u les λ _k sont les p valeurs propres distinctes de f , et les m _k dans N ^∗ leur ordre respectif de multiplicit´ e.

Pour k ∈ [|1, p|], on pose E _k = ker ((f − λ _k I ) ^m

).

7.a) Montrer que les sous-espaces vectoriels E _k sont stables par f et que E = E 1 ⊕ · · · ⊕ E p . 7.b) Pour k ∈ [|1, p|], on note ϕ _k l’endomorphisme ϕ _k :

E _k → E _k x 7→ f(x) − λ _k x D´ eterminer ϕ ^m _k

. Quelle est la dimension de E _k ?

Montrer que ϕ ^m _k

⁻¹ n’est pas l’endomorphisme nul.

7.c) En d´ eduire l’existence d’une base B de E dans laquelle f a une matrice « diagonale par

blocs », ces blocs appartenant ` a M m

( C ), et ´ etant de la forme :

























λ k 0 . . . . . . . . . 0

1 λ _k . .. .. .

0 1 λ _k . .. .. . .. . . .. ... ... ... .. . .. . . .. ... λ k 0 0 . . . . . . 0 1 λ _k























 (On pourra utiliser la partie II).

7.d) En utilisant la matrice compagne de P _f montrer que f est cyclique.

III.8. On suppose, dans cette question uniquement, que K = R .

8.a) Soient A et B deux matrices de M n ( R ) semblables dans M n ( C ) : A = QBQ ⁻¹ avec Q ∈ G L n ( C ).

On ´ ecrit Q = Q ₁ + iQ ₂ avec Q ₁ et Q ₂ dans M n ( R ).

Montrer que {λ ∈ R | Q ₁ + λQ ₂ ∈ G L n ( R )} est non vide.

En d´ eduire que A et B sont semblables dans M n ( R ).

8.b) Montrer que f est cyclique.

Conclure.

QUATRIEME PARTIE : Une autre caract´ erisation des endomorphismes cycliques.

IV.9. On suppose f cyclique et on choisit x 0 dans E tel que x 0 , f (x 0 ), . . . , f ⁿ⁻¹ (x 0 )

soit une base de E.

9.a) Soit g ∈ C (f ). En ´ ecrivant g(x 0 ) =

n−1

P

k=0

α _k f ^k (x 0 ), montrer que g ∈ K [f ].

2

9.b) Montrer que g ∈ C (f ) si, et seulement si, il existe un unique polynˆ ome R ∈ K n−1 [X] tel que g = R(f ). (On rappelle que K n−1 [X] est l’ensemble des polynˆ omes sur K de degr´ e 6 n − 1).

IV.10. On suppose que C (f ) = K [f]. Montrer que f est cyclique.

Conclure.

CINQUIEME PARTIE : Cycles.

Dans cette partie K = C . On dit que f est un « p-cycle » si, et seulement si, il existe x ₀ ∈ E tel que la famille x ₀ , f (x ₀ ), . . . , f ^p−1 (x ₀ )

soit g´ en´ eratrice de E et f ^p (x ₀ ) = x ₀ . V.11. Dans cette partie, f d´ esigne un p-cycle.

11.a) Montrer que f ^p = I.

11.b) Soit E =

k ∈ N ^∗ | x 0 , f (x 0 ), . . . , f ^k−1 (x 0 )

est une famille libre . Montrer que E admet un maximum not´ e m.

11.c) Montrer que : ∀k > m, f ^k (x 0 ) ∈ Vect x 0 , f (x 0 ), . . . , f ^m−1 (x 0 ) . En d´ eduire que f est cyclique.

D´ eterminer le nombre de valeurs propres distinctes de f . V.12. Dans cette question, f d´ esigne un n-cycle.

D´ eterminer C, matrice compagne de f.

On pose ω = e

et, pour k ∈ Z , U _k =









 ω ^k ω ^2k

.. . ω ^nk









 .

Pour k ∈ [|1, n|], calculer CU _k .

V.13. Soit M ∈ M n ( C ) d´ efinie par M = (m _k,l ) _16k6n

16l6n

, avec m _k,l = ω ^kl . Calculer M M ; en d´ eduire que M ∈ G L n ( C ) et calculer M ⁻¹ .

V.14. Soit (a 0 , a 1 , . . . , a n−1 ) ∈ C ⁿ et A =

















a 0 a n−1 . . . . . . a 1

a ₁ a ₀ . . . . . . a ₂ .. . . . . .. . .. . . . . a 0 a n−1

a n−1 a n−2 . . . a 1 a 0















 .

Montrer que A est diagonalisable. D´ eterminer les valeurs propres et une base de vecteurs propres de A.

FIN

3