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Analyse Complexe 2007
Homographies.
Exercice 1.
(1) Soient T1, T2 deux homographies. Montrer que T1◦T2 est une homographie et que siMi
est une matrice de Ti (i = 1,2) alorsM1M2 est une matrice de T1◦T2. En d´eduire que l’ensemble des homographies est un groupe pour◦, qu’une homographie est une bijection de ˆC, et que si
a b
c d
est une matrice deT alors
d −b
−c a
est une matrice deT−1. (2) Montrer que ce groupe est engendr´e par les similitudes et l’inversionT:z→ 1
z Exercice 2.
(1) Montrer que pour trois points distinctsz1, z2, z3de ˆC, il existe une unique homographieT telle queT(z1) =∞,T(z2) = 0, T(z3) = 1.
(2) Soientz1, z2, z3, z4 quatre points de ˆC, les trois premiers distincts. SoitT l’unique homo- graphie appliquant (z1, z2, z3) sur (∞,0,1). On appelle birapport dez1, z2, z3, z4, pris dans cet ordre, not´e [z1, z2, z3, z4], le pointT(z4).
(3) Soient (z1, z2, z3, z4) et (z1, z2, z3, z4) deux 4−uplets de ˆCles trois premiers points de chacun
´
etant distincts. Montrer qu ’il existe une homographieT telle que T(zi) =zi,i= 1,2,3,4 ssi [z1, z2, z3, z4] = [z1, z2, z3, z4]
Exercice 3. Une topologie sur ˆC.
SoitT la topologie de C. On noteU =T ∪ {Cˆ \K, K un compact de C(en particulier l’ensemble vide)}.
(1) Montrer que U d´efinit une topologie sur ˆC, qui est s´epar´ee et compacte. V´erifier que l’injection deCdans ˆCest continue.
(2) Montrer qu’une homographie est continue pour cette topologie.
Exercice 4. On rappelle qu’un quasi-cercleF est soitD∪ {∞}avecDune droite affine, soit un cercle deC.
(1) D´eterminer l’image parT:z→ 1
z d’un quasi-cercle (connaissant une ´equation cart´esienne).
On montrera en particulier queTapplique une droite contenant(resp. ne contenant pas) 0 en une droite contenant 0 (resp. un cercle contenant 0) et applique un cercle ne contenant pas l’origine en un tel cercle.
(2) Montrer que par trois points distincts de ˆCil passe un et un seul quasi-cercle (on pourra d’abord regarder le cas des trois points (∞,0,1)).
(3) En d´eduire que pour deux quasi-cercle donn´es, il existe une homographie appliquant l’un sur l’autre.
(4) Montrer qu’une homographie applique R sur R ssi elle peut etre repr’esent´ee par une matrice `a coefficients r´eels. En d´eduire une description de l’ensemble des homographies qui applique un quasi-cercle sur un autre quasi-cercle.
Exercice 5.
(1) Rappeler une formule donnant l’unique homographie appliquant trois points distincts de Cˆ sur (∞,0,1).
(2) Montrer que quatre points distincts de ˆCsont sur un mˆeme quasi-cercle ssi le birapport [z1, z2, z3, z4] est r´eel. En d´eduire qu’une homographie apllique un quasi-cercle (Z1, Z2, Z3) sur un quasi-cercle (Z1, Z2, Z3) ssi [Z1, Z2, Z3, T(Zi)] est r´eel.
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Exercice 6. Montrer qu’une homographie qui n’est pas l’identit´e admet un ou deux points fixes.
Exercice 7.
(1) D´ecrire les homographies admettant le point infini comme point fixe (resp. comme unique point fixe).
(2) En d´eduire que si α ∈ C, pour toute homographie f qui admet α comme point fixe,
∃! (a, b)∈C∗×Ctel que 1
f(z)−α = a
z−α+b. Montrer quea= 1 siαest l’unique point fixe def.
Exercice 8.
(1) D´ecrire les homographies admettant 0,∞comme points fixes.
(2) En d´eduire que siα, βsont deux nombres complexes distincts, pour toute homographief admettantα, βcomme points fixes, il existeγ∈C∗tel que f(z)−α
f(z)−β =γz−α z−β.
