Licence, Analyse Complexe, 2007
Produits infinis.
Exercice 1.
(1) Soit (un)n,∈N une suite de ]−1,+∞[ de signe constant. Montrer que le produit infini Π+∞0 (1 +un) converge versp= 0 ssi la s´erie
+∞
0
un converge. Donner un contre-exemple lorsque (un)n∈Nn’est pas de signe constant.
(2) Soit (un)n∈N une suite de R\ {−1} telle que la s´erie
+∞
0
un converge. Montrer que le produit infini Π+∞0 (1 +un) converge versp= 0 ssi
+∞
0
un2 converge.
(3) on sait qu’une s´erie de nombres positifs converge ssi la suite des sommes partielles est major´ee. Enoncer un analogue pour un produit infini de r´eels dans ]0,1[.
Exercice 2.
(1) Prouver que le produit infini
+∞
n=1
(1− z2
n2) converge normalement sur les compacts de C vers une fonctionf ∈ O(C) dont on donnera les z´eros.
(2) Calculer f
f ∈ M(C). Montrer que deux fonctions holomorphes sur un domaine deCqui ont mˆeme d´eriv´ee logarithmique, different d’une constante multiplicative.
(3) En d´eduire que sin(πz) πz =
n=+∞
n=1
(1−z2 n2).
Exercice 3. Le but de l’exercice est de prouver le th´eor`eme suivant: Soit une suite (an)n∈N du disque unit´e D(0,1). Il existe une fonction f ∈ O(D(0,1), born´ee sur le disque, telle que,∀a∈D(0,1),µ(a, f) =card{n∈N, an=a} ⇐⇒
n∈N
1− |an|<+∞.
(1) Soit f ∈ O(D(0,1))\ {0}, born´ee, ayant une infinit´e de z´eros. On note (an)n∈N la suite des z´eros r´ep´et´es suivant la multiplicit´e.
a) Montrer que l’on peut supposerf(0)= 0.
b) On suppose d´esormaisf(0)= 0. Soitn∈N, on posefn(z) = n k=0
ak−z
1−a¯kz et gn= f fn. Prouver quefnest holomorphe sur un voisinage deD(0,1), de module ´egale `a 1 sur le cercle unit´e, stictement inf´erieur `a 1 surD(0,1). Prouver que gn d´efinit une fonction hlomorphe surD(0,1) et quegn∞,D(0,1)=f∞,D(0,1).
c) Prouver que
+∞
n=0
|an|est convergeant, en d´eduire que
n∈N
1− |an|<+∞.
(2) Soit (an)n∈N une suite de D(0,1) telle que
n∈N
1− |an|<+∞(vu la condition impos´ee, on supposera que an est non nul). Montrer que le produit infini, de terme g´en´eral fn : z → |an|
an
an−z
1−a¯nz converge normalement sur tout compact de D(0,1) vers une fonction holomorphe de module born´e par 1 et de z´eros la suite (an)n∈N (avec multiplicit´e).
Exercice 4. D´eveloppements classiques.
(1) Montrer quef(z) =
n∈Z
1
z−(n−12)π + 1 (n−12)π
d´efinit une fonction m´eromorphe sur C, dont on d´eterminera les pˆoles. En d´eduire que tan =−f. (Indications: On montrera
1
que tan +f est une fonction enti`ere, p´eriodique , impaire, et que f+ tan → 0 quand z→ ∞,z∈ {−π
2 ≤x≤ π 2}.) (2) On poseg(z) =
n∈Z
(1− z (n−12)π)e
z (n−1
2 )π. Montrer que ce produit converge normalement sur tout compact deC. Calculer g
g. Montrer qu’il existe une fonction enti`erehtelle que cosz=eh(z)g(z). En d´eduire que cosz=
+∞
n=1
(1− z2 (n−12)2π2).
Exercice 5.
(1) On d´efinit le facteur de Weierstrass d’ordrep∈Npar Ep : C z → Ep(z) = (1−z)ez+z
2
2+...+zpp si p ≥ 1 et E0(z) = 1−z. Montrer que
p→+∞lim Ep(z) = 1 sur le disqueD(0,1).
(2) Montrer que sip≥1 alors|Ep(z)−1| ≤2|z|p+1
p+ 1 surD(0,1 2).
(3) Soit (zn)n∈Nune suite de complexe non nuls de module croissant vers +∞. Montrer qu’il existe une suite d’entier (kn)n∈N telle que pour tout R > 0,
+∞
0
( R
|zn|)kn converge. En d´eduire que Π+∞0 Ekn−1( z
|zn|) converge normalement sur tout compact deC. (4) En d´eduire un d´eveloppement en produit infini de la fonction sinus.
(5) En d´eduire le th´eoreme de Weierstrass.
Exercice 6. SoitU un ouvert deC. Construire une fonctionf holomorphe surU telle queZ(f)C⊃∂CU.
(1) En d´eduire qu’il existe une fonction holomorphe sur U non prolongeable holomorphique- ment au voisinage d’un point de la fronti`ere deU.
Autour des th´eor`eme de Stieljes Vitali et Hurwitz:
Exercice 7. SoitD un domaine deCet F une partie deO(D) telle que:
(1) Il existe un ouvertV non dense dansCtel que f ∈ F=⇒f(D)⊂V (2) Il existea∈Ctelle que {f(a), f∈ F}est un born´e deC.
Montrer queF est relativement compact dansO(U) i.e. toute suite deF admet une suite extraite qui converge dansO(U) (cad uniform´ement sur les compacts deU).
Exercice 8. SoitD un domaine deCet a∈D . On note Hl’ensemble desf ∈ O(D) telles quef est injective,f(a) = 0, et|f|<1. Montrer queH∪{0}est une partie compacte deO(D) ( i.e. toute suite deH ∪ {0}admet une suite extraite qui converge uniform´ement sur les compacts vers une fonction deH ∪ {0}) .
Exercice 9. SoitD un domaine de Cet (fn)n∈N une suite deO(D) ´equiborn´ee sur les compacts de D. On suppose qu’il existe une suite (zn)n∈N de D de support infini telle que lim
n→+∞zn existe dans D et telle que∀k∈N lim
n→+∞fn(zk) existe. Montrer que la suite (fn)n∈N converge dansO(U).
