(1)TS7 Interrogation 7A 10 d´ecembre 2019 Exercice 1 : ad´esigne un nombre r´eel

TS7 Interrogation 7A 10 d´ecembre 2019 Exercice 1 :

ad´esigne un nombre r´eel. ´Ecrire l’expression propos´ee sous la forme e^k avec kun entier relatif.

A= e^2a×e^3a e Solution: A= e^−a+1

Exercice 2 : R´esoudre :

(1) e^−2x−1 >1 (2) e^3x+5= e^−2x+2

Solution:

(1) e^−2x−1 >1⇔ −2x−1>0(par croissante de exp sur R)⇔x <−¹₂ S=]− ∞;−¹₂[

(2) e^3x+5 = e^−2x+2⇔3x+ 5 = 2x+ 2⇔x=−3.S ={−3}

Exercice 3 :

D´eriver les fonctions suivantes surR: (1) f(x) = 1

e^x + 5 (2) g(x) = e^3x2−3

Solution:

(1) f⁰(x) =− 1 e^−x ; (2) g⁰(x) = 6xe^3x2−3

Exercice 4 :

Soit f la fonction d´efinie sur Rparf(x) = (2−x)e^x (1) a. ´Etudier la limite de f en +∞;

b. ´Etudier la limite de f en −∞.

(2) Calculerf⁰(x) pour tout r´eel x;

(3) Dresser le tableau de variations complet def sur R Solution:

(1) a. Par produit lim

x→+∞(2−x)e^x=−∞

b. Par croissance compar´ee, lim

x→−∞xe^x= 0, par somme lim

x→−∞(2e^x−xe^x) = 0 (2) f⁰(x) =−e^x+ (2−x)e^x= (1−x)e^x

(3)

x f⁰

f

−∞ 1 +∞

+ 0 −

0 0

e e

−∞

−∞