Sous-groupes compacts de GLn

Sous-groupes compacts de GL _n ( R ).

2013 – 2014

Référence : Michel Alessandri,Thèmes de Géométrie : groupes en situa- tion géométrique, Dunod, 1999, p.141,160.

Théorème.

Tout sous-groupe compact deGLn(R)est conjugué à sous-groupe deOn(R).

Lemme.

SoitE un R-espace vectoriel de dimension finie, K un convexe compact de E etH un sous-groupe compact de GL(E).

SiK est stable parH, alors il existea∈K fixé par tous les éléments de H.

Démonstration. Soitk · kune norme euclidienne sur E. Pourx∈E, on définit N(x) := sup

u∈H

ku(x)k= max

u∈Hku(x)k, l’existence du maximum étant garantie par compacité deH.

AlorsN est une norme sur E:

– SiN(x) = 0, on akidE(x)k= 0, d’oùx= 0.

– N(λx) =|λ|N(x).

– Finalement,

N(x+y) = max

u∈Hku(x+y)k

≤max

u∈H(ku(x)k+ku(y)k)

≤max

u∈Hku(x)k+ max

u∈Hku(y)k

=N(x) +N(y).

De plus,Nest invariante parH :N(v(x)) =N(x) pour toutv∈Hcaru7→u◦v est une bijection deH.

Enfin, montrons queN est une norme strictement convexe.

Soitx, y∈E tels queN(x+y) =N(x) +N(y). Soitu₀∈H tel queN(x+y) = ku0(x+y)k. On a alors

N(x+y) =ku₀(x) +u₀(y)k ≤ ku₀(x)k+ku₀(y)k ≤N(x) +N(y) =N(x+y),

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d’oùku0(x) +u0(y)k=ku0(x)k+ku0(y)ket doncu0(x) etu0(y) sont positive- ment liés cark · kest une norme euclidienne, il en est donc de même dexety par linéarité et inversibilité deu0.

Kétant compact, il existea∈K de norme minimale pourN. De plus,aest unique. En effet, sia⁰ est de norme minimale pourN, alors ^a+a₂ ⁰ ∈KcarKest convexe et

N(a)≤N

a+a⁰ 2

≤ N(a) +N(a⁰)

2 =N(a)

doncaet a⁰ sont positivement liés donc égaux car de même norme.

Pourv∈H on av(a)∈K carKest stable par H et N(v(a)) =N(a) donc v(a) =a, ce qui montre queaest fixe par tous les éléments deH.

Démonstration du théorème. SoitGun sous-groupe compact deGLn(R). Alors Gagit sur l’espace E des matrices symétriques par congruence, ce qui définit l’antimorphisme suivant :

ρ:G−→GL(E)

A7−→(ρA:S7→ ^tASA)

Cet antimorphisme est de plus continu, donc le groupeH :=ρ(G) est un sous- groupe compact deGL(E).

Par ailleurs, l’orbite de In, qui est l’ensemble E := {^tM M | M ∈ G}, est un compact de E donc son enveloppe convexe K est compacte d’après le théorème de Carathéodory. De plusE ⊂ S_n⁺⁺(R) et S_n⁺⁺(R) est convexe donc K⊂ S_n⁺⁺(R). Enfin,K est stable parH :

ρA(^tM M) = ^t(M A)(M A)∈ E

et les éléments deK sont combinaisons linéaires d’éléments deE.

On peut donc appliquer le lemme : il existe S ∈ S_n⁺⁺(R) fixé par tous les éléments de H, i.e. ^tASA = S pour tout A ∈ G. G est donc contenu dans le groupe orthogonal de la forme quadratique associée àS, et doncGest conjugué à un sous-groupe deOn(R).

Détails supplémentairs

Proposition.

Soitqune forme quadratique associée àS∈ S_n⁺⁺(R).

SiG⊂O(q), alors Gest conjugué à un sous-groupe deO_n(R).

Démonstration. S∈ S_n⁺⁺(R) donc il existeT ∈ S_n⁺⁺(R) tel queS=T². Alors, pourA∈G,

S= ^tASA T²= ^tAT²A

In= (T^−1tAT)(T AT⁻¹) I_n= ^t(T AT⁻¹)(T AT⁻¹)

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D’oùT AT⁻¹∈On(R).

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