��� GROUPE LINÉAIRE D’UN ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE E , SOUS-GROUPES DE GL(E ).
APPLICATIONS.
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien, oùKest un corps commutatif.
I. Introduction au groupe linéaire
[Rom��, §�.�, p���] [Per��, ChIV, p��]Définition du groupe linéaire, c’est bien un groupe, exemples : homothéties, rotations On se ramène à l’étude deGLn(K)via un isomorphisme, etGLn(K)ƒGLn(K) Proposition : morphisme du déterminant
PropositionuœGL(E)≈∆keru={0}≈∆Im(u) =E≈∆det(u)”= 0 Définition deSL(E). Exemple
SL(E)distingué dansGL(E), le groupe quotient étant isomorphe àKú.GL(E)est alors un produit semi-direct, direct dans le casK=R
II. Quelques éléments de GL(E )
[Per��, §IV.�, p��]II. A. Les homothéties
Homothéties, déterminant,uhomothétie si et seulement siustabilise toutes les droitesæsta- bilisateur de l’action deGL(E)sur les droites
II. B. Les dilatations
Définition, propriétés des dilatations de rapportœ/ {0,1} Deux dilatations de même rapport sont conjuguées
II. C. Les transvections
Définition, définitions équivalentes
Les transvections sont conjuguées (dansSLnlorsquenØ3) Formule de conjugaison
III. Étude du groupe linéaire
III. A. Générateurs
[Per��, §IV.�.d, p��]SLn(K)est engendré par les transvections,GLn(K)est engendré par les transvections et les dilatations
Approche matricielle, pivot deG����
Applications : groupes dérivés,SLn(K)est connexe par arcs
III. B. Centre et commutateurs
[Per��, §IV.�/�/�, p��]Z(GLn(K))est l’ensemble des homothéties,Z(SLn(K))est l’ensemble des homothéties de déterminant1
Définition dePSLn(K),PGLn(K)
Isomorphismes pour de petites valeurs denavec les groupes de permutation et/ou alterné
III. C. Quelques calculs de cardinalité
[Per��, §IV.�, p���] [Rom��, §�.�, p���–���]Cardinaux deGLn(Fq),SLn(Fq),PGLn(Fq),PSLn(Fq) A�����������. [�������� ��Dn(Fq)]
SoitnœN,q=proùpest premier etrœNú. SoitDn(Fq)l’ensemble des matrices diago- nalisables de taillendeFq. Alors en posant|GL0(Fq)|= 1, on a :
|Dn(Fq)|= ÿ
n1+···+nq=n
|GLn(Fq)| rq
i=1|GLni(Fq)|
IV. Groupes orthogonal et unitaire
[Per��, §V.�, p���]On se place en caractéristique di�érente de2.
IV. A. Généralités
Forme quadratiqueqfixé. Définition deO(q), deO+(q)
u œ O(q) ≈∆ detu = ±1 ≈∆ Ï(u(x), u(y)) = Ï(x, y)oùÏassociée àq. Équivalence matricielle.
Exemple deq(x, y) =x2≠y2
Symétrie orthogonale,E+ ‹E≠, conjugaison
Si q est définie positive, définition réflexion orthogonale, les réflexions orthogonales en- gendrentO(q). Les renversements engendrentO+(q).
Centres deO(q), O+(q)
Groupe unitaire, spécial unitaire pour une forme hermitienne définie positive. Même caractéri- sations et diagonalisabilité en base orthonormée
IV. B. Groupe orthogonal euclidien, groupe unitaire
Définition matricielle
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���
Agrégation – Leçons ���– Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finieE, sous-groupes deGL(E). Applications.
T��������. [��������� ��� �������������� �����������]
SotuœOn(R). Il existe une base orthonorméeBdeEtelle que
MB(u) = Q cc ca
Is
≠It
R1
...
Rr
R dd db
oùs+t+ 2r=net pour1ÆkÆr,Rk =3 cos(◊k) ≠sin(◊k) sin(◊k) cos(◊k)
4
avec◊k-0 modfi.
IV. C. Groupe orthogonal et géométrie de l’espace : les quaternions
[CG��, ChVII, p���]
Groupe des quaternions sous forme matricielle, conjugué, norme d’un quaternion, produit sca- laire associé, base(1,i,j,k)orthonormée,H=Iü‹R,R-espace vectoriel de dimension4.
On définitSU2(C) ={hœH|N(h) = 1}.
T��������. On aSU2(C)/{±I2}ƒSO3(R).
V. Topologie
[CG��, II.�/CHVI, p��/���] [Rom��, §�.�/Ch��.�, p���/���]On se place sur le corpsK=RouC GLn(K)est un ouvert dense dansMn(K) Homéomorphismes
Compacité deOn(R)
Connexités par arcs selon le corps Décomposition polaire
������
Tableau d’actions de groupes de matrices, stabilisateurs, orbites [CG��, §II.E, p��]
GLn(K)sur les bases vectorielles,On(K)sur les bases orthonormées euclidiennes,SOn(K)sur les bases orthonormées euclidiennes directes,Un(K)sur les bases orthonormées hermitiennes,GLn(K) Transvections, dilatations
������
Les espaces vectoriels ont un caractère géométrique très naturel. On s’intéresse donc à cette vision géométrique en étudiant le groupe linéaire de ces espaces.
On peut également mettre une topologie surGL(E)(voir la dernière partie).
������������
Les trois premières parties sont des immanquables. Pour le reste on aurait aussi pu aller du côté des représentations.
���������
Q Déterminer les idéaux bilatères stricts deMn(K).
R SoitIun tel idéal. SoitM œI\{0}. Soitrle rang deM. Alors il existeP, Qtel queP M Q≠1= IrdoncIrœI. Par suite toutes les matrices de rangrsont dansI.
DoncIest l’ensemble des matrices de rangr1, . . . rkpour des entiersr1, . . . , rkfixés.
Q SoitGµGLn(C)fini. Montrer queq
MœGTr(M)œZ. R On a pour toutHœG,q
MœGTr(HM) =q
MœGTr(HM).
Soitd=|G|. SoitM œG.Md=InetXd≠1est scindé à racines simples.
�������������
[CG��] P.C������et J.G������: Histoires hédonistes de groupes et de géométries - Tome�.
Calvage et Mounet,����.
[Per��] D.P�����:Cours d’algèbre. Ellipses,����.
[Rom��] J.-E.R�������: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,
����.
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���
