Feuille d’exercices sur les déterminants
Groupe des permutations
Exercice 1 Décomposer en produit de transpositions puis déterminer la signature des permutations suivantes : (134)(2431)(23), 1 2 3 4 5 6 7 8
5 2 4 8 7 3 1 6
!
, 1 2 3 4 5
5 2 1 4 3
!−1
. Exercice 2 Démontrer qu’une permutation et son inverse ont même signature.
Exercice 3 (Cardinal de An) On note An l’ensemble des permutations de Sn
dont la signature vaut 1.
1. Démontrer que An est un sous-groupe de Sn.
On souhaite déterminer le cardinal de An. On fixeτ une transposition de Sn. 2. Démontrer que l’applicationf :σ7→τ◦σ est une bijection deSn\ AnsurAn. 3. En déduire le cardinal de An.
Exercice 4 (Centre de Sn) Soit n >3, chercher l’ensemble des permutations de Sn commutant avec tous les éléments de Sn. Et pourn = 2 ?
Exercice 5 (Nombre moyen de points fixes) On cherche à déterminer le nombre moyen de points fixes d’une permutation de Sn. Pour cela, on tire au hasard une permutation de Sn, et on note X la variable aléatoire égale au nombre de points fixes de la permutation tirée. Il s’agit donc de déterminer E(X).
1. Déterminer la loi de X, puis E(X) lorsque n = 3.
2. Calculer E(X). On pourra introduire pour i ∈J1, nK, la variable aléatoire Xi qui vaut 1 si l’entieri est fixé par la permutation et vaut 0 sinon.
Le déterminant en tant que forme n-linéaire alter- née
Exercice 6 (Pour manier la définition du det) Soit A = (aij) ∈ Mn(K). On note B ∈ Mn(K) la matrice de coefficients ((−1)i+jaij). Montrer en utilisant la définition du déterminant que detB = detA.
Exercice 7 Soit B une base de Kn, et x1, . . . , xn des vecteurs de Kn. Exprimer detB(xn, xn−1, . . . , x1) en fonction de detB(x1, x2, . . . , xn).
Exercice 8 (Difficile) SoitM ∈ Mn(R) une matrice aléatoire dont les coefficients sont des variables aléatoires réelles indépendantes qui suivent une même loi. Calculer E(detM).
Place au calcul...
Exercice 9 (Du calcul...) Calculer sous forme factorisée les déterminants sui- vants :
A =
a 0 b 0 a b a b 0
, B =
1 1 1
a+b c+a b+c
ab ca bc
, C =
a−b−c 2a 2a 2b b−c−a 2b
2c 2c c−a−b
,
D=
a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a
.
Exercice 10 On pose A= (aij)∈ Mn(R) où aii =i,aij =i×j si i > j etaij = 0 si i < j. Calculer le déterminant deA.
Exercice 11 Calculer les déterminants suivants :
Dn=
0 1 . . . 1 1 . .. ... ...
... . .. ... 1 1 . . . 1 0
et ∆n=
0 an
. ..
a1 0
Exercice 12 (Basique) Pour quelle(s) valeur(s) dea, betcles vecteurs (a, a2, a3),(b, b2, b3),(c, c2, c3) forment-ils une base de K3?
Exercice 13 (Système de Cramer) On pose
x−y+z = a ax+y−z = 1 x−y+az = 1
(S).
1. Pour quelle(s) valeur(s) de a, le système (S) est-il de Cramer, i.e. admet une unique solution ?
2. Résoudre ce système pour a= 1 puis interpréter géométriquement.
Exercice 14 On veut calculer pour x réel etn ∈N∗, le déterminant
f(x) =
x 2 . . . n 3 1 x ... 3 1 2 . .. n ...
... ... x 3 1 2 . . . n 3
.
1. Méthode 1 : «trianguler» votre déterminant.
2. Méthode 2 : montrer que x7→ f(x) définit une fonction polynomiale dont on précisera le degré et le coefficient de plus haut degré. Déterminer ensuite les racines. Conclure.
Exercice 15 (Déterminant d’une matrice bande) On pose D1 = 2, D2 = 3 et pour n>2,
Dn =
2 −1 0 . . . 0
−1 2 −1 . .. ...
0 −1 2 . .. 0 ... . .. ... ... −1 0 . . . 0 −1 2
1. Démontrer que ∀n∈N∗, Dn+2 = 2Dn+1−Dn. 2. En déduire Dn en fonction den.
Exercice 16 (Base de polynômes) Soient (z0, z1, . . . , zn) n + 1 éléments de K deux à deux distincts. Démontrer que la famille
((X−z0)n,(X−z1)n, . . . ,(X−zn)n) est une base de Kn[X].
Exercice 17 Soit A= (aij) dansMn(K) avec aij = min(i, j). Calculer detA.
Exercice 18 Le but de l’exercice est de calculer le déterminant de taillen suivant :
Dn=
2 1 · · · 1 1 3 . .. ... ... . .. ... 1 1 · · · 1 n+ 1
.
1. Calculer le déterminant suivant de taille n :
2 1 · · · · 1
1 3 1 ...
... . .. ... ... 1 ... . .. n 1 1 · · · · 1 1
.
2. Démontrer que pour n >2, on a Dn= (n−1)! +nDn−1.
3. En déduire une expression deDnà l’aide deHn=Pnk=1k1 (on pourra considérer
Dn
n!).
Utilisation des propriétés algébriques du détermi- nant
Exercice 19 Soit n∈N∗ et A∈ Mn(R) telle que A2 =A−In. Calculer detA.
Exercice 20 Calculer le déterminant d’une matrice antisymétrique deMn(R) pour n impair.
Exercice 21 (Matrices semblables)
1. Montrer que deux matrices semblables ont même déterminant et même trace.
2. Trouver en taille 2, deux matrices non semblables, qui ont même rang, même déterminant et même trace.
3. Trouver en taille 4, deux matrices nilpotentes non semblables, qui ont même rang, même trace.
Exercice 22 (Instructif) Soit A une matrice de Mn(K) de rang 1.
1. Montrer que A est semblable à une matriceB ayantn−1 colonnes nulles. En déduire que In+A est semblable àIn+B.
2. Démontrer que det(In+B) = 1+Tr(B),en déduire que det(In+A) = 1+Tr(A).
3. Retrouver ainsi le calcul de l’exercice 11.
Exercice 23 (Application transposée) Quel est le déterminant de l’endomor- phisme «transposition» φ :Mn(K)→ Mn(K) définie parφ(M) = tM.
Divers...
Exercice 24 (Matrices de permutation) Soientσ ∈Snune permutation, (e1, . . . , en) la base canonique deKn. On noteuσ l’endomorphisme deKndéfinie paru(ei) =eσ(i) pouri∈ {1, . . . , n}.
1. Prenons pour les questions 1 et 2, σ = 1 2 3 4 2 4 3 1
!
. Ecrire la matrice A de uσ dans la base canonique de K4. Calculer la signature deσ et le déterminant deuσ.
2. Soit M ∈ M4(R), calculer AM puis M A, interpréter en termes d’opérations sur les lignes et les colonnes deM.
3. Justifier dans le cas général que uσ est un automorphisme de Kn, déterminer son déterminant.
Exercice 25 (Rang de la comatrice) Soient n un entier supérieur ou égal 2 et A∈ Mn(K). Le but de l’exercice est de déterminer le rang de la comatrice deA en fonction du rang de A.
1. Traiter le cas où le rang de A vaut n.
2. On suppose que rg(A) =n−1.
(a) Justifier que com(A)6= 0.
(b) Justifier que Im(tcom(A))⊂KerA.
(c) En déduire que rg com(A) = 1.
3. Traiter le cas rg(A)< n−1.
Exercice 26 (Avec des blocs) Soit A etB dans Mn(K).
Démontrer que
A B B A
= det(A+B) det(A−B).
On pourra montrer à l’aide d’opérations élémentaires que
A B B A
=
A+B B
0 A−B
.
Exercice 27 (Pour mieux connaître la comatrice) Soient n un entier supé- rieur ou égal 2 et A∈ Mn(K).
1. Montrer que det(A) = (detA)n−1.
2. On suppose de plus que A ∈ GLn(R). Résoudre l’équation A = com(X) d’inconnue X ∈ Mn(R).
Exercice 28 (Matrices inversibles à coefficients entiers) On noteGLn(Z) l’en- semble des matrices de Mn(R) à coefficients entiers, inversibles et telles que leur inverse est encore à coefficients entiers.
1. Justifier que GLn(Z) est un groupe.
2. Soit A∈GLn(Z). Montrer que detA∈ {±1}.
3. Montrer que la réciproque est vraie, i.e. si A ∈ Mn(Z) vérifie detA ∈ {±1}, alors A∈GLn(Z).
Exercice 29 (Polynôme caractéristique) SoientE unK-espace vectoriel de di- mension 3 et B= (e1, e2, e3) une base deE.
Soit u l’endomorphisme de E dont la matrice dans B est
A =
3 −2 −3
−2 6 6
2 −2 −2
.
1. Soit t ∈R. Calculer le déterminantχA(t) = det(tIn−A) (on remarquera que χA(t) est un polynôme de degré 3 ent appelé polynôme caractéristique deA).
Donner les racines de χA. 2. Démontrer l’équivalence
il existe un vecteur non nul x∈R3 tel que u(x) = tx⇔χA(t) = 0.
3. En déduire trois réels λ1 < λ2 < λ3 et trois vecteurs non nuls x1, x2 etx3 tels que
u(x1) =λ1x1, u(x2) =λ2x2, u(x3) = λ3x3. 4. Démontrer que la famille (x1, x2, x3) est une base de R3.
5. En déduire qu’il existe une matrice inversible P de M3(R) et une matrice diagonale D telle que A=P DP−1.
