Sn d´esigne le groupe des permutations de l’ensemble [[1,n

HX4 — Devoir 1993/08

◮Soit n ∈ N^∗; S_n d´esigne le groupe des permutations de l’ensemble [[1,n]]. Soit s ∈ S_n; on dira que k∈[[1,n−1]] est unemont´eedessis(k)< s(k+ 1). On noteλn(s) = Card©

k∈[[1,n−1]]|s(k)< s(k+ 1)ª le nombre de mont´ees des.

◮Pourk∈[[0,n]], on note­n k

®= Card©

s∈S_n|λn(s) =kª

le nombre de permutations de l’ensemble [[1,n]] qui ont exactementkmont´ees.

Q1 Classez les ´el´ements deS₄selon la valeur de leur λ4, en d´eduire la valeur de­₄

k

®pourk∈[[0,4]].

Q2 Combien valent ­n 0

®,­ n n−1

®et ­n n

®? Q3 Quelle relation a-t-on entre­n

k

®et­ n n−1−k

®? Q4 Pourk∈[[1,n]], ´etablissez­_n+1

k

®= (k+ 1)­n k

®+ (n+ 1−k)­ n k−1

®. Pour ce faire, vous fixerezs∈S_n; et, pour p∈[[1, n+ 1]], vous noterezsp l’´el´ement deS_n+1 d´efini parsp(k) =s(k) pour k∈[[1, p−1]], sp(p) =n+ 1, etsp(k) =s(k−1) pourk∈[[p+ 1, n+ 1]].

Q5 Donnez une formule explicite pour αn =­n 1

®. Vous vous int´eresserez `aβn=αn+n+ 1.

Q6 On suppose ´ecrites les d´eclarations suivantes :

1 const n=5; (* par exemple *)

2 var T:array[1..n,1..n] of integer;

R´edigez un programme en Pascal qui place dansT[p,q]la valeur de­p q

®, pour 16q6p6n.

Q7 Lorsquesd´ecrit S_n, calculez la valeur moyenne deλn(s), autrement dit : 1 CardS_n

X

s∈Sn

λn(s).

Q8 Soientp,ketndes naturels tels quep+k > n. Donnez une expression de (k+ 1)³

p+k n+1

´+ (n−k)³

p+1+k n+1

´

ne faisant intervenir qu’un seul coefficient binomial.

Q9 Pourp>n>1, ´etablissez l’´egalit´e deWorpitzky: X

06k<n

¿n k

À µp+k n

¶

=pⁿ.

Q10 Pour x ∈ R et r ∈ N^∗, on note Pr(x) = ^{x(x−1)(x−}2)...(x−r+1)

r! . Que repr´esente Pk(n), pour k ∈ [[1,n]] ? Comment d´efinir logiquementP0?

Q11 On rappelle que, si une fonction polynˆome f de degr´e au plus n s’annule pour au moins n+ 1 valeurs distinctes de la variable, alorsf est la fonction nulle. En d´eduire :

∀x∈R:

n−1

X

k=0

¿n k À

Pn(x+k) =xⁿ

Q12 Retrouvez le r´esultat de Q5 `a l’aide de cette formule, et donnez ´egalement l’expression de­n 2

®. Q13 Soitk∈[[1,n]] ; calculezµn(k) = Card©

s∈S_n|s(1)< s(2)< . . . < s(k)ª . Q14 Pours∈S_n, on note τn(s) = max©

k∈[[1,n]]|s(1)< s(2)< . . . < s(k)ª

. Calculez la valeur moyenneτn de τn(s), d´efinie parτn= 1

CardS_n X

s∈Sn

τn(s).

Q15 Calculezτ= lim

n→∞τn. Que repr´esenteτ? Q16 Avec les d´eclarations suivantes :

1 const n=20; (* par exemple *)

2 var s:array[1..n] of integer;

on suppose que les valeurs des variabless[1],s[2],. . .,s[n]sont les images de 1, 2,. . .,npar un ´el´ement sdeS_n. R´edigez un programme en Pascal qui calculeλn(s) etτn(s).

[Devoir 1993/08] Compos´e le 7 mars 2008