DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
Groupe infini dont les ´ el´ ements sont d’ordre fini
1Soit g un ´el´ement quelconque de G. L’application ϕg (d´efinie dans l’´enonc´e), allant d’un ensemble de cardinal n+ 1 vers un ensemble de cardinaln, ne peut ˆetre injective : il existe donc deux ´el´ements i et j de [[0, n]], aveci < j, tels queϕg(i) =ϕg(j). On a doncgj−i=eetg est d’ordre fini.
Tout ´el´ement deGest donc d’ordre fini.
2 a
1. 1 est clairement ´el´ement neutre pour la multiplication de Ω.
2. Soitz un ´el´ement quelconque de Ω : z est donc ´el´ement deUn, pour un certain entiern. CommeUn est un groupe,z−1∈Un⊂Ω.
3. Soitzetz0 deux ´el´ements quelconques de Ω : il existe donc des entiersmetntels quez∈Umetz0∈Un. On a alors clairementzz0∈Umn⊂Ω
b Chaque ´el´ement de Ω appartient `a l’un des groupes finisUn (pour un certain entier naturel non nul n), donc est d’ordre fini. Cependant, Ω n’est pas un ensemble fini, puisque par exemple sa partie
{eiπn, n∈N∗}
est infinie (car la restriction de l’application cosinus `a [0, π] est injective).
