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Donner un exemple de groupe infini sans ´el´ement d’ordre 2

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Academic year: 2022

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(1)

Universit´e Paris Diderot Alg`ebre

Licence de Math´ematiques Ann´ee 2016-17

H. Chen, B. Klingler, L. Merel INTERROGATION du 29 septembre 2016

Dur´ee : 30 minutes. Tout appareil ´electronique et tout document est interdit. R´epondre ci-dessous et au verso en justifiant bri`evement.

1. La relation R d´efinie sur N− {0} par xRy si x/y=y/x est-elle d’´equivalence ? 2. L’ensemble {0,2,4,6} ⊂Z est-il un syst`eme de repr´esentants de Z/4Z ?

3. Donner un exemple de groupe infini sans ´el´ement d’ordre 2.

4. Donner un ´el´ement d’ordre 2 du groupe (R×,×).

5. L’ensemble {en|n∈Z} est-il un sous-groupe de (R×,×) ? 6. Donner un exemple de groupe non-cyclique d’ordre 4.

7. L’application Z → Z×Z qui `a n associe (2n+ 1,3n+ 1) est-elle un morphisme de groupes ?

Références

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