L’id´eal des 1-mineurs est 2Z et l’id´eal d´eterminant (des 2-mineurs) est 52Z. Donc il suffit de trouver une base (f1, f2) deLtelle que 2f1,26f2 ∈ F. Dans ce cas (2f1,26f2) est n´ecessairement une base deF.
On remarque d’abord quex1etx$2= 5x1−x2= 26e2engendrent encoreF. On posef1=e1+ 3e2etf2=e2. Il est clair que (f1, f2) est une base deL. On ax1= 2f1etx$2= 26f2
Exercice 12.7 Soit L un Z-module libre de rang 2. Soit (e1, e2) une base de L et soit F le sous-module deL engendr´e par x1 = 3e1+ 6e2, x2 = 9e1+ 12e2 et x3= 6e1+ 3e2. Donnez une base deL adapt´ee pour F, et la base de F correspondante.
Corrig´e de l’exercice. r´esulte qu’elle est ´equivalente `a la matrice
„ 3 0 0
13 R´ eduction d’un endomorphisme d’un espace vectoriel
Soient E un K-espace vectoriel de rang fini etu un endomorphisme de E.
R´eduire u, c’est donner une d´ecomposition E = ⊕Ei telle que lesEi sontu-stables (autrement dit telle queu(Ei)⊂Ei) et que la restriction deu`a Ei est ”facile” `a d´ecrire.
Si P ="
akTk ∈K[T], il est clair que P(u) est un endomorphisme de E d´efini par P(u)(x) ="
akuk(x).
Proposition 13.1 Soient E un K-espace vectoriel de rang fini et u un endomorphisme de E. Alors E muni de la structure de K[T]-module d´efinie, pour P ∈K[T] et x∈ E, par P x = P(u)(x) (en particulier T x = u(x)) est un K[T]-module de type fini et de torsion.
Si P est le polynˆome minimal de u, alors P E = (0).
Les sous-K[T]-modules de E sont les sous-espaces vectoriels de E stables pour u.
Soit (ei) une base de E comme K-espace vectoriel. Il est clair qu’elle engendre `a fortiori E comme K[T]-module. Si P est le polynˆome minimal de u, on aP(u) = 0, et
`a fortiori P E= 0, ce qui prouve queE est de torsion.
SiM ⊂Eest un sousK[T]-module, on aT M ⊂M, doncu(M)⊂M. R´eciproquement, siu(M)⊂M, on aQ(u)(M)⊂M, doncQM ⊂M, pour toutQ∈K[T].
Pour la r´eduction des endomorphismes d’un espace vectoriel de rang fini, le th´eor`eme de classification des modules de torsion sur un anneau principal prend donc la forme suivante
Th´eor`eme 13.2 Soient (E, u) un K-espace vectoriel de rang fini muni d’un endomor-phisme. SoientPi, avec1≤i≤setPi+1 ∈PiK[T]les facteurs invariants deu. Il existe une d´ecomposition en sous-espaces vectoriels u-stables E =&s
i=1Ei telle que
1) le polynˆome minimalPi est le polynˆome minimal et le polynˆome caract´eristique de la restrictionui deu `a Ei et Ei+K[T]/PiK[T].
2) Pi divise Pi+1. 3) rgK(E) ="
id0Pi,
4) Ps est le polynˆome minimal de u,
5) Le produit P1...Ps est le polynˆome caract´eristique de u (au signe pr`es).
6) La suite d´ecroissante d’id´eauxPiK[T]est uniquement d´etermin´ee par l’endomorphisme u de E.
D´efinition 13.3 Les polynˆomes unitairesPisont les facteurs invariants de l’endomorphisme u.
On sait qu’il existe une unique suite de polynˆomes unitaires Pi et un isomorphisme de K[T]-modules
φ:E+
%s 1
K[T]/PiK[T]+ ⊕s1K[T]/PiK[T] tel queP1K[T]⊃...⊃PsK[T].
Posons Ei =φ−1(K[T]/PiK[T]). Il r´esulte de la proposition pr´ec´edente que Ei est stable pouru. Remarquons quePi est l’annulateur duK[T]-moduleEi +K[T]/PiK[T], doncQ(ui) = 0 si et seulement siQ∈PiK[T], ce qui prouve bien quePi est le polynˆome minimal de ui. Pour montrer que c’est aussi le polynˆome caract´eristique de ui, il suffit de montrer que rgKEi=d0Pi.
Plus g´en´eralement, notons que siPest est un polynˆome de degr´en, alorsK[T]/P K[T] est un K-espace vectoriel de rang n. En effet, si P = Tn +a1Tn−1 +...+an, alors les ´el´ements cl(1), ..., cl(Tn−1) ∈ K[T]/P K[T] forment une base du K-espace vectoriel K[T]/P K[T].
Ces ´el´ements sont lin´eairement ind´ependants car la relation "n−1
0 akcl(Tk) = 0 est
´equivalente `a cl("
akTk) = 0, c’est `a dire"n−1
0 akTk ∈P K[T], ce qui implique ak = 0 pour 1 ≤ k ≤ n−1. La division euclidienne montre d’autre part que pour tout k, il existe une relationTk=AP+R, avecd0R < n. Ceci impliquecl(Tk) =cl(R) et montre bien que cl(1), ..., cl(Tn−1)∈K[T]/P K[T] engendrentK[T]/P K[T].
On a donc montr´e 1),2) et 3).
4) CommePidivisePs(pour touti), il est clair quePsannuleE =⊕Ei + ⊕s1K[T]/PiK[T] et que tout polynˆome qui annule ce K[T]-module est un multiple de Ps.
5) CommeE + ⊕s1K[T]/PiK[T] est une d´ecomposition en sous-espace vectoriel stable pour u (la multiplication par T), le polynˆome caract´eristique est alors le produit des polynˆomes caract´eristique.
6) L’unicit´e se d´eduit imm´ediatement du th´eor`eme de structure des modules de type fini et de torsion sur un anneau principal.
Corollaire 13.4 Le polynˆome caract´eristique et le polynˆome minimal deuont les mˆemes facteurs irr´eductibles.
C’est clair puisquePi divisePs pour i≤s.
Exercices 13.5 1) D´ecrivez `a isomorphisme pr`es tous les endomorphismes deK-espaces vectoriels admettant(T−a)3(T−b)3 (aveca#=b∈K) comme polynˆome caract´eristique.
Donnez dans chaque cas les facteurs invariants de u.
2) D´ecrivez `a isomorphisme pr`es tous les endomorphismes de K-espaces vectoriels admettant (T−a)4 comme polynˆome caract´eristique.
Corrig´e des exercices.
1) Il faut d´ecrire toutes les suites d´ecroissantes d’id´eauxPiK[T] telles que le produit des polynˆomes unitaires Pisoit (T−a)3(T−b)3, autrement dit, toutes les possibilit´es pour les facteurs invariants Il y a 9 solutions.
a)P1= (T −a)3(T−b)3 ; b)P1= (T −a)n(T−b)metP2 = (T −a)3−n(T−b)3−m, avecn+m >0 et n, m≤1 ;
c)P1 =P2=P3= (T−a)(T−b) ; d)P1= (T−a),P2= (T−a) etP3= (T−a)(T−b)3 (et le mˆeme en permutantaetb) ;
e)P1= (T−a),P2= (T−a)(T−b) etP3= (T−a)(T−b)2(et le mˆeme en permutantaetb).
Autrement dit, siEa etEbsont les espaces propres de rang 3 associ´es aux valeurs propresaetb, on a pour Eatrois d´ecompositions possibles (et pourEbaussi ´evidemment).
Ea/(K[T]/(T−a))3, Ea/K[T]/(T−a)×(K[T]/(T−a))2 mboxetEa/K[T]/(T−a)3.
2) Il faut d´ecrire toutes les suites d´ecroissantes d’id´eauxPiK[T] telles que le produit des polynˆomes unitaires Pisoit (T−a)4. Comme vous le savez, il y a 5 solutions que vous devez d´ecrire.
Exercice 13.6 1) SoitEest unC-espace vectoriel de rang6. Siuest un endomorphisme deE dont le polynˆome caract´eristique est le carr´e de son polynˆome minimal et ayant deux valeurs propres distinctes aet b, d´ecrivez les facteurs invariants possibles de u.
Corrig´e de l’exercice.
1) SoientP1, ..., Psles facteurs invariants deu. On aP1..Ps=Ps2 etd0Ps= 3. Quitte `a permuteraetb, on a n´ecessairementPs= (T−a)2(T−b). Il y a 2 solutions
s= 3, P1= (T−a) etP2= (T−a)(T−b) ; s= 2 etP1= (T−a)2(T−b) =Ps.
Exercice 13.7 1) Soit E est unC-espace vectoriel. Si uest un endomorphisme deE et a une valeur propre de u, montrez que le rang de l’espace vectoriel des vecteurs propres de aest le nombre de facteurs invariants dont (T −a) est facteur.
Corrig´e de l’exercice.
SoientP1, ...Psles facteurs invariants deEetE=⊕Ei, avecEi/C[T]/PiC[T]. Il suffit donc de montrer que si le polynˆome minimal est, au signe pr`es, ´egal `a son polynˆome caract´eristique alors l’espace (propre) des vecteurs propres d’une valeur propre est de rang 1. SoitP ce polynˆome etnson degr´e.
On veut montrer que ker(u−aId) est de rang 1, ce qui est ´equivalent `arang(u−aId)(E) =n−1. Soit F= (u−aId)(E) = (T−1)E. C’est un sous-espace stable pouru. SoitQle polynˆome minimal de la restriction de u`aF. On a ´evidemmentQ(T−1)E=QF= 0. DoncQ(T−1) est un multiple deP, ce qui montred0Q≥n−1 etrangF≥n−1.
Exercice 13.8 SoitE est unC-espace vectoriel de rang6. Soituest un endomorphisme de E dont le polynˆome caract´eristique a 2 racines distinctes a et b. On suppose que les espaces propres Ea etEb sont de rangs 3 et2. Quels sont les facteurs invariants deu?
Corrig´e de l’exercice.
P1= (T−a),P2= (T−a)(T−b) etP3= (T−a)(T−b)2.
Exercice 13.9 1) SoitE est unK-espace vectoriel et soituest un endomorphisme deE dont le polynˆome minimalP est, au signe pr`es, le polynˆome caract´eristique. SiP =QR, montrez que rang(kerQ(u)) =d0Qet rang(Q(u)(E)) =d0R.
Corrig´e de l’exercice.
1) On peut supposerQetRunitaires. Soitnle rang deE. On rappelle queF =Q(u)(E) =Q(T)E(par d´efinition de la structure deK[T]-module) est une sous-espace vectoriel stable pouru.
SoituF la restriction de u `a F. Comme R(u)(F) = R(u)◦Q(u)(E) = P(u)(E) = (0), il est clair que le polynˆome minimal deuF diviseR. SoitR1 ce polynˆome minimal. On a 0 =R1(u)(F) =R1(u)◦Q(u)(E) = R1Q(u)(E), doncP =RQdiviseR1Q. Il resteR=R1, doncFest de rang≥d0R, ce qui impliquerang(kerQ(u))≤ d0Q=n−d0R.
On a ´evidemment montr´e aussirangR(u)(E)≥d0Q. Mais commeQ(u)◦R(u) =P(u) = 0, on aR(u)(E)⊂ kerQ(u) et on conclut avec les in´egalit´es
d0Q≤rangR(u)(E)≤rangkerQ(u)≤d0Q.