3.5 Id´ eaux d’un corps de nombres

Universit´e P. et M. Curie (Paris VI) date de mise `a jour:23/03/2011 Deuxi`eme semestre 2010/2011

Master de sciences et technologies 1`ere ann´ee - Mention : Math´ematiques et applications Sp´ecialit´e : Math´ematiques Fondamentales

Cinqui`eme fascicule : 23/03/2011

3.5 Id´ eaux d’un corps de nombres

Petit aper¸cu historique

L’invention de la notion d’id´eal provient des recherches au XIX`eme si`ecle sur ledernier th´eor`eme de Fermat: il s’agissait de d´emontrer qu’il n’y a pas d’entiers positifsn≥3,x,yetz satisfaisant xⁿ+yⁿ=zⁿ. En supposantnimpair et en utilisant l’identit´e

xⁿ+yⁿ= (x+y)(x+ζy)· · ·(x+ζⁿ⁻¹y), ζ=ζn=e^2iπ/n

Kummer a d´emontr´e en 1844 que l’´enonc´e de Fermat est vrai pour un exposant premiern=ppour lequel l’anneau des entiers du corpsQ(ζ_p) est factoriel ; Dirichlet a alors remarqu´e que l’existence d’une d´ecomposition en facteurs irr´eductibles est toujours vraie, mais que l’unicit´e n’est pas claire.

C’est d`es 1844 que Kummer a su qu’il n’y avait pas unicit´e de la d´ecomposition en ´el´ements irr´eductibles dans l’anneauZ[ζ23]. Il l’a ´ecrit `a Liouville en 1847 (`a la suite d’une note de G. Lam´e

`

a l’Acad´emie des Sciences le 11 mars 1847), ajoutant qu’il avait trouv´e un substitut qui ´etaient les

”nombres id´eaux”. L’id´ee est la suivante.

Dans le corpsk=Q(√

−5) la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles n’est pas unique 21 = 3·7 = (1 + 2√

−5)(1−2√

−5).

Kummer affirme qu’il existe des objets qu’il appelle nombres id´eauxdonnant une d´ecomposition unique

(21) =p₁p₂p₃p₄ qui explique la d´ecomposition pr´ec´edente :

p₁p₂= (3), p₃p₄= (7), p₁p₃= (1 + 2√

−5), p₂p₄= (1−2√

−5).

Dedekind a pr´ecis´e cette construction de nombres id´eaux. Siaest un nombre id´eal, on veut satisfaire les relations, pouraetbdansZk,

sia|aeta|balors pour toutλ∈Zketµ∈Zkon aa|λa+µb.

On veut aussi que a soit d´etermin´e par {a ∈ Zk ; a|a}. L’id´ee est donc de consid´erer les sous- ensemblesadeZk qui v´erifient la propri´et´e

a∈a, b∈a, λ∈Z_k, µ∈Z_k ⇒λa+µb∈a.

Ce sont donc les id´eaux deZ_k. Dans l’exemple pr´ec´edent on prend

p₁= (3,1−√

−5), p₂= (3,1 +√

−5), p₃= (7,3−√

−5), p₄= (7,3 +√

−5).

R´ef´erences: [9], [Pantchichkine], [Skoruppa].

3.5.1 Id´eaux entiers

SoientK un corps de nombres de degr´ensurQetZK son anneau d’entiers.

Lemme 3.38. Soitα∈ZK,α�= 0. AlorsZK/αZK a|NK/Q(α)|´el´ements.

D´emonstration. On utilise la proposition 3.1 : il existe une base{e₁, . . . , e_n}deZ_K et des entiers a1, . . . , an tels que{a1e1, . . . , anen}soit une base de l’id´ealαZK. Soitu l’endomorphisme duZ–

moduleZK qui envoieeisuraiei. Son image estαZK et sa matrice dans la base {e1, . . . , en}est la matrice diagonale diag(a₁, . . . , a_n), dont le d´eterminant esta₁· · ·a_n. Comme{αe₁, . . . , αe_n}est aussi une base deαZK, il existe un automorphisme v du Z–moduleαZK tel que v(aiei) =αei

pour 1 ≤ i ≤ n. Alors detv = ±1. D’autre part les relations v◦u(ei) = v(aiei) = αei pour 1≤i≤nmontrent quev◦uest la restriction de [α] `aZK, donc le d´eterminant deuest aussi ´egal

`

a±N_K/Q(α).

Soitaun id´eal non nul deZK,α�= 0 un ´el´ement dea. AlorsZKα⊂a. Des propositions 3.15 et 3.1 on d´eduit queaest unZ–module libre de rangn= [K:Q]. Par cons´equent il existe une base {e1, . . . , en} deZK comme Z–module et des entiers positifsa1, . . . , an tels que {a1e1, . . . , anen} soit une base deasurZet queaidiviseai+1dansZpour 1≤i < n. On en d´eduit que le quotient ZK/aest fini avec a1· · ·an ´el´ements. Le nombre d’´el´ements de ZK/a est appel´e norme de a et not´e N(a).

Le lemme 3.38 montre que la norme d’un id´eal principal est ´egale `a la valeur absolue de la norme deK surQd’un g´en´erateur.

Sia etbsont deux id´eaux deZK avec a⊂b, alors les surjections canoniques de ZK sur les quotients induisent une surjection deZ_K/asurZ_K/b, donc N(b) divise N(a).

Soientn= [K:Q] le degr´e deK etσ:K→Rⁿson plongement canonique. Commeσ(a) est un sous r´eseau deσ(ZK) d’indice N(a), on obtient, comme au lemme 3.37 :

Lemme 3.39. Soit a un id´eal non nul de Z_K. Alors σ(a) est un r´eseau de Rⁿ de volume 2^−r2|DK|^1/2N(a)et le discriminant deaestDKN(a)². .

Quandr1etr2sont deux entiers≥0 avecn=r1+2r2≥1 on d´efinit laconstante de Minkowski M(r₁, r₂) par

M(r1, r2) =

�4 π

�r2

· n!

nⁿ·

On ´ecrit encoreM(K) au lieu deM(r1, r2) quandK est un corps de nombres de degr´enayantr1

plongements r´eels et 2r2plongements imaginaires deux-`a-deux conjugu´es.

Nous d´eduirons ult´erieurement (§3.5.5) plusieurs cons´equences du lemme suivant.

Th´eor`eme 3.40. SoientK un corps de nombres etaun id´eal non nul de ZK. Il existeα∈atel que

1≤ |N_K/Q(α)| ≤M(K)|D_K|^1/2N(a).

La d´emonstration (voir par exemple le§4.2 de [9]) repose encore sur des arguments de g´eom´etrie des nombres, analogues `a ceux de la d´emonstration du th´eor`eme 3.33 de Dirichlet.

3.5.2 Id´eaux premiers

SoientK un corps de nombres, ZK son anneau d’entiers,p un id´eal premier non nul deZK. Siα ∈ pa pour polynˆome minimalX^m+a1X^m−1+· · ·+am (avec m = [Q(α) :Q]) alorsam

appartientp∩Zdonc cette intersection n’est pas r´eduite `a 0.

L’injection deZdansZ_K induit une injection deZ/p∩Zdans l’anneauZ_K/pqui est int`egre, doncZ/p∩Zest int`egre et l’id´ealp∩ZdeZest premier non nul.

Rappelons le r´esultat ´el´ementaire suivant : Lemme 3.41. Un anneau fini int`egre est un corps.

D´emonstration. SiA est un anneau fini int`egre, pourx ∈A\ {0} l’application y �→xy est une injection deAdansA, donc une bijection.

Sipest un id´eal premier non nul deZK, le corps finik =ZK/pest appel´ecorps r´esiduel de p. Dans ce casZ/p∩Zest un sous-corps de k, donc le g´en´erateur positif deZ∩pest un nombre premier p qui est appel´e la caract´eristique du corps r´esiduel k (on dit encore la caract´eristique r´esiduelle dep). La norme dep(nombre d’´el´ements deZ_K/p=k) est doncp^f o`uf= [k:F_p] est ledegr´e du corps r´esiduel. Le sch´ema est

Z�K −→ ZK/p= k

|f Z −→ Z/pZ= F_p

Rappelons que le produit ab de deux id´eaux d’un anneau A est par d´efinition l’id´eal de A engendr´e par les produitsab,aparcourantaetbparcourantb. Ainsi

ab⊂a∩b⊂a⊂a+b.

Deux id´eauxaetbdeAsont ditspremiers entre euxsia+b=A. Dans ce cas on aab=a∩b.

Lemme 3.42. Soientaetbdeux id´eaux non nuls deZK. Sia=ab, alorsb=ZK.

D´emonstration. Soit α₁, . . . , α_n une base de l’id´eal a comme Z–module. Comme α_i ∈ ab pour 1≤i≤n, on peut ´ecrire

α_i=

�n

j=1

β_ijα_j pour 1≤i≤n, avec des coefficientsβij dans b. Alors la matrice�

βij

�

1≤i,j≤n−I a un d´eterminant nul, d’o`u on d´eduit en d´eveloppant 1∈b.

SoientAest un anneau,M un A–module et aun id´eal deAdiff´erent de A. Alors aM est un sous–module deMet le quotientM/aM est unA–module. Montrons queM/aMa une structure naturelle deA/a–module.

En effet, la structure deA–module du quotientM/aM est donn´ee par un homomorphisme de A–modules

A → Hom_A(M/aM, M/aM) a �→ (x�→ax)

dont le noyau contienta. On en d´eduit un homomorphisme deA–modules A/a−→HomA(M/aM, M/aM)

qui conf`ere `aM/aM la structure deA/a–module annonc´ee.

En particulier siaest un id´eal maximalpdeAalorsM/pMa une structure naturelle d’espace vectoriel sur le corpsA/p.

On applique ceci avecA=ZK.

Lemme 3.43. Soitaun id´eal non nul deZ_Ket soitpun id´eal premier non nul deZ_K. On d´esigne par kle corps r´esiduel ZK/p. Alorsa/paest unk-espace vectoriel de dimension≥1.

D´emonstration. Le lemme 3.42 implique a�= pa, donc la dimension de cek-espace vectoriel est

≥1.

En fait il va r´esulter de ce qui suit que la dimension de cet espace vectoriel est 1.

Soitpun id´eal premier non nul deZK. En utilisant au choix le lemme 3.42 ou bien le lemme 3.43, on obtientp^m�=p^m+1pour toutm≥0. La suite

ZK⊃p⊃p²· · · ⊃p^m⊃ · · ·

est donc strictement d´ecroissante. D’apr`es le lemme 3.43 le quotientp<sup>m</sup>/p<sup>m+1</sup>est isomorphe comme ZK–module `aZK/p; il en r´esulte que la norme dep^mest N(p)^m.

L’intersection de tous lesp^mest{0}: en effet, quandbest un id´eal deZK distinct deZK etα est un ´el´ement non nul deb, le plus grand entiermtel queα∈b^mest born´e par la condition que N(b)^mdivise N_K/Q(α).

Soit aun id´eal non nul de ZK. L’ensemble des entierst≥0 tels que a⊂ p^t est non vide (il contient 0) et fini. On d´esigne parvp(a) le plus grand de ces entiers :

a⊂p^t pour 0≤t≤vp(a) et a�⊂p^t pour t=vp(a) + 1.

On avp(a)>0 si et seulement sia⊂p. On a aussivp(ap) =vp(a) + 1, doncvp(p^m) =mpour m≥0. Enfinvp(p^�) = 0 sipetp^� sont deux id´eaux premiers distincts.

Th´eor`eme 3.44. Soit aun id´eal non nul de ZK. L’ensemble des id´eaux premiers pde ZK qui contiennentaest fini et on a

a=� p

p^vp⁽a)

,

o`u le produit est ´etendu `a l’ensemble des id´eaux premiers non nuls deZK. De plus une telle d´ecomposition est unique : si on a

a=� p

p^ap,

o`u lesapsont des entiers rationnels≥0tous nuls sauf un nombre fini, alorsap=vp(a)pour tout p.

Remarque. Le th´eor`eme 3.44 montre que, sous les hypoth`eses du lemme 3.43,a/apest de dimen- sion 1 comme espace vectoriel surZK/pcar il n’y a pas d’id´eal entreapeta.

Pour une d´emonstration du th´eor`eme 3.44, voir par exemple [9].

3.5.3 Id´eaux fractionnaires

SoitAun anneau, soitMunA–module et soientN1etN2deux sous-A–modules deM. On dit queMestsomme directedeN1etN2, et on ´ecritM=N1⊕N2, si l’application (x1, x2)�→x1+x2

est un isomorphisme deA–modules deN₁×N₂surM. Cela revient `a dire que l’on aM=N₁+N₂ etN1∩N2={0}.

SiA1etA2sont deux id´eaux d’un anneauAtels que A1+A2=A, alorsA1∩A2=A1A2 et A/A1A2est isomorphe `aA/A1×A/A2.

Nous utiliserons la notion d’anneaunoeth´erienque voici.

Proposition 3.45. SoientAun anneau etMunA–module. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i) Toute famille non vide de sous–modules deM admet un ´el´ement maximal.

(ii) Toute suite croissante de sous–modules deM est stationnaire `a partir d’un certain rang.

(iii)Tout sous-module de M est de type fini.

D´emonstration. Voir [9],§1.4.

D´efinition. Quand les conditions de la proposition 3.45 sont satisfaites on dit queM est unA–

module noeth´erien. Un anneau est ditnoeth´eriens’il est noeth´erien commeA–module, c’est-`a-dire si tout suite croissante d’id´eaux

A1⊂A2⊂ · · · est stationnaire.

De la condition (iii) de la la proposition 3.45 il r´esulte qu’un anneau principal est noeth´erien.

SoientAun anneau int`egre,K son corps des fractions. Un sous-A–moduleanon nul deK est unid´eal fractionnaire deK par rapport `aA s’il v´erifie les propri´et´es ´equivalentes suivantes : (i) Il existeα∈A,α�= 0 tel queαa⊂A.

(ii) Il existeβ∈K,β�= 0 tel queβa⊂A.

L’´equivalence vient du fait que siβa⊂Aavecβ∈K^×, alors on peut ´ecrireβ=α/γ avecαet γ dansA\ {0}, d’o`uαa⊂A.

On dira aussi queaest unid´eal fractionnaire deA.

Lemme 3.46. Sia1eta2sont des id´eaux fractionnaires deA, alors a1+a2, a1∩a2, a1a2

et

(a1:a2) :={x∈K; xa2⊂a1} sont des id´eaux fractionnaires de A.

D´emonstration. Siα1etα2sont des ´el´ements non nuls deA\ {0}tels queai⊂α⁻_i¹Apour i= 1 et i= 2, alors a1+a2, a1∩a2 et a1a2 sont des sous-A–modules non nuls de K contenus dans (α₁α₂)⁻¹A.

Siα₁est un ´el´ement non nul de A tel quea1⊂α⁻¹₁ Aet si a₂ est un ´el´ement non nul dea2, alors pour toutx∈(a1:a2) on a

α1a2x∈α1xa2⊂α1a1⊂A, doncα1a2(a1:a2)⊂A.

Il reste `a v´erifier que leA–module (a1:a2) n’est pas nul. Sia1est un ´el´ement non nul dea1et α2un ´el´ement non nul deAtel quea2⊂α⁻₂¹A, alorsa1α2est un ´el´ement non nul de (a1:a2) :

a1α2a2⊂a1A⊂a1.

On d´eduit du lemme 3.46 que siaest un id´eal fractionnaire deA, alors (A:a) ={x∈K; xa⊂A} et (a:a) ={x∈K; xa⊂a} sont des id´eaux fractionnaires deA.

Tout sous-A–module de type fini deK non nul est un id´eal fractionnaire.

R´eciproquement, quandAest un anneau noeth´erien, tout id´eal fractionnaire deAest de type fini : pourα∈A\ {0}lesA–modulesaetαasont isomorphes. Donc, quandA est noeth´erien, un id´eal fractionnaire n’est autre qu’un sous-A–module non nul de type fini deK. Sia admet{a_i} comme partie g´en´eratrice et sibest engendr´e par{bj}, alorsa+best engendr´e par{ai} ∪ {bj}et abpar{aibj}.

QuandK est un corps de nombres, unid´eal entier deK est un id´eal deZK, c’est-`a-dire un id´eal fractionnaire deZ_K contenu dansZ_K.

Proposition 3.47. Soitpun id´eal premier non nul deZ_K. Soit p^�={x∈K; xp⊂ZK}.

Alorsp^� est un id´eal fractionnaire deZK qui contientZK etpp^�=ZK.

Du th´eor`eme 3.44 on d´eduit que les id´eaux fractionnaires de ZK forment un groupe ab´elien d’´el´ement neutreZK= (1).

Th´eor`eme 3.48. Soitaun id´eal fractionnaire deZK. Il existe une d´ecomposition unique a=�

p p^ap,

o`u le produit est ´etendu `a l’ensemble des id´eaux premiers non nuls deZK et lesapsont des entiers rationnels tels que�

p; ap�= 0�

soit fini.

D´emonstration. Soitα∈Z_K\ {0}tel queαa⊂Z_K. On d´ecompose les id´eaux entiersαZ_K etαa en produit d’id´eaux premiers, on multiplie par les inverses des id´eaux premiers apparaissant dans la d´ecomposition deαZK et on trouve la d´ecomposition annonc´ee dea. L’unicit´e r´esulte de ce qui pr´ec`ede.

SoitKun corps de nombres. Le th´eor`eme 3.44 montre que la propri´et´e (3.4) de multiplicativit´e de la norme s’´etend aux id´eaux deZK :

Corollaire 3.49. Soientaetbdeux id´eaux deZK. Alors

N(ab) = N(a)N(b). (3.50)

D´emonstration. Grˆace au th´eor`eme 3.44 il suffit de v´erifier la propri´et´e (3.50) quandbest un id´eal premier. Notons-lep.

L’homomorphisme canonique

ZK/ap→ZK/a

est surjectif et a pour noyaua/ap. Le quotientk =ZK/pest un corps fini (ayant N(p) ´el´ements) eta/apest unk-espace vectoriel de dimension 1 (carpest maximal - cf lemme 3.43 et la remarque qui suit le th´eor`eme 3.44), donc est isomorphe `ak. Ainsia/apa N(p) ´el´ements et par cons´equent ZK/apen a N(a)N(p).

Remarque. Une autre d´emonstration, due `a H.W. Lenstra, est donn´ee dans [1], Lemma 4.6.8.

Grˆace au corollaire 3.49 on peut ´etendre la d´efinition de la norme aux id´eaux fractionnaires.

Avec les notations du corollaire 3.48, on posevp(a) =apet N(a) =�

p

N(p)^ap.

La norme d’un id´eal fractionnaire principal deZK est ´egale `a la valeur absolue de la norme deK surQd’un g´en´erateur : pour toutα∈K^×on a N(αZ_K) =|N_K/Q(α)|.

Le lemme 3.47 signifie que les id´eaux premiers non nuls sont inversibles dans le mono¨ıde des id´eaux fractionnaires deZK. L’inversep^� depest aussi not´ep⁻¹:

p⁻¹={x∈K; xp⊂Z_K}.

Exercice. Soientaun id´eal non nul etpun id´eal premier non nul deZK. 1. Montrer qu’il existeα∈atel queα�∈ap.

Montrer qu’il existe un id´ealbdeZK tel queab=αZK. V´erifiera=αZ_K+ap.

2. Soient a1, . . . , aN des repr´esentants des classes de ZK modulo a, avec N = N(a), et soient b1, . . . , bM des repr´esentants des classes deZK modulop, avecM= N(p). V´erifier que

{a_i+αb_j}^1≤i≤N

1≤j≤M

est un syst`eme complet de repr´esentants des classes deZK moduloap.

Du th´eor`eme 3.44 on d´eduit, pourpid´eal premier deZK eta,bid´eaux fractionnaires deZK : vp(ab) = vp(a) +vp(b),

vp(a+b) = min{vp(a), vp(b)}, vp(a∩b) = max{vp(a), vp(b)}.

Soitpun id´eal premier deZ_K. On d´efinitl’indice de ramificatione(p) deppare(p) =vp(pZ_K) o`upd´esigne la caract´eristique r´esiduelle dep. Ainsie(p)≥1.

Soitpun nombre premier et soitpZK l’id´eal principal deZK qu’il engendre. Le th´eor`eme 3.44 montre qu’il existe une d´ecomposition, unique `a l’ordre pr`es des facteurs,

pZK =p^e₁¹· · ·p^e_g^g, (3.51) o`ugest un entier≥1,p<sub>1</sub>, . . . ,p<sub>g</sub> sont des id´eaux premiers deZK deux-`a-deux distincts etei≥1 est l’indice de ramification dep_i(1≤i≤g).

Les id´eauxp₁, . . . ,p_g sont pr´ecis´ement les id´eaux premiersp deZK tels quep∩Z=pZ. On dit que ce sont lesid´eaux premiers deZK au dessus de p. De la d´ecomposition (3.51) on d´eduit

ZK/pZK�ZK/p^e₁¹· · ·ZK/p^e_g^g.

En notant n = [K : Q], en d´esignant par fi le degr´e du corps r´esiduel de p_i et en utilisant le corollaire 3.49, on obtient

pⁿ= N_K/Q(p) = N(p₁)^e1· · ·N(p_g)^eg=p^{e1f1+···+egfg}. Par cons´equent

e1f1+· · ·+egfg=n. (3.52) On dit quep_iestramifi´e au dessus de psi l’exposanteiest≥2. On dit quepestramifi´e dans K si l’un des exposantse_i est≥2. On dit encore quepest

-totalement ramifi´e dansK sie1=n: alorsg= 1 etf1= 1

-totalement d´ecompos´e dansK sig=n: alorse1=· · ·=en=f1=· · ·=fn= 1

-inerte dansKsif1=n: alorsg= 1 ete1= 1 ; cela revient `a dire quepZK est un id´eal premier.

Voici ce qui se passe pour les corps quadratiques

Proposition 3.53. Soitdun entier sans facteur carr´e et soitpun nombre premier impair. Dans le corps K=Q(√

d),pse d´ecompose de la fa¸con suivante : (i) Sipdivised, alorspest ramifi´e dansK :

pZK=p²avecN(p) =p.

(ii) Si�

d p

�

= 1, alorspest d´ecompos´e dansK : pZK=p₁p₂avecN(p₁) = N(p₁) =p.

(iii)Si �

d p

�

=−1, alorspest inerte dansK : pZK=p.

D´emonstration. Sid≡2 ou 3 (mod 4), alorsZK =Z[√

d]. Si d≡1 (mod 4), on aZK =Z[(1 +

√d)/2], dans ce dernier cas commepest un nombre premier impair on peut ´ecrireZK=Z[√ d] + pZ_K. Par cons´equent on a toujours

Z_K/pZ_K =Z[√

d]/pZ[√

d]�Z[X]/(p, X²−d)�F_p[X]/(X²−d).

- Le polynˆomeX²−da une racine double dansF_psi et seulement sipdivised.

- Il se d´ecompose en deux facteurs lin´eaires distincts si et seulement si�

d p

�

= 1.

- Il est irr´eductible si et seulement si�

d p

�

=−1.

Exercice. Soitdun entier sans facteur carr´e et soitK le corps quadratiqueQ(√

d). V´erifier : (i) 2 est ramifi´e dans K si et seulement si d≡2 ou 3 (mod 4), c’est-`a-dire si et seulement si le discriminant deK est pair.

(ii) 2 est d´ecompos´e dansK si et seulement sid≡1 (mod 8).

(iii) 2 est inerte dansKsi et seulement sid≡5 (mod 8).

3.5.4 Discriminant et ramification Nous admettrons l’´enonc´e suivant :

Th´eor`eme 3.54. SoitK un corps de nombres. Les nombres premiers qui se ramifient dans K sont en nombre fini : ce sont les diviseurs premiers du discriminantDK.

Exercice. Soitθun entier alg´ebrique,T le polynˆome unitaire irr´eductible deθ(qui est `a coefficients dansZ) etKle corps de nombres Q(θ), . On supposeZ[θ] =ZK. Soitpun nombre premier. On d´ecompose le polynˆomeT en facteurs irr´eductibles unitaires surZ_p:

T(X) =

�g

i=1

T_i(X)^ei (modp).

Soitp_i l’id´eal engendr´e parpetTi(θ) dansZK. Montrer que la d´ecomposition de l’id´ealpZK en produit d’id´eaux premiers est

pZ_K=

�g

i=1

p^e_iⁱ et que l’indice r´esiduelfiest ´egal au degr´e deTi. R´ef´erence. Voir [1], Th´eor`eme 4.8.13.

3.5.5 Classes d’id´eaux - th´eor`emes de finitude

SoitKun corps de nombres. Les id´eaux fractionnaires deZ_K forment un groupe multiplicatif.

Les id´eaux fractionnaires principaux (c’est-`a-dire monog`enes) forment un sous-groupe, et le quo- tient est le groupe Cl(K) des classes d’id´eaux de K. Dire que deux id´eaux fractionnaires a etb sont´equivalentssignifie qu’il existeα∈K,α�= 0, tel quea=αb.

Soitaun id´eal fractionnaire et soitαun ´el´ement non nul deZ_K tel queαasoit un id´eal entier.

Il r´esulte de la d´efinition que aest ´equivalent `aαa. Donc toute classe d’´equivalence contient un id´eal entier.

Rappelons queM(K) d´esigne la constante de Minkowski du corpsK(th´eor`eme 3.40).

Proposition 3.55. Toute classe d’id´eaux contient un id´eal entierade normeN(a)≤M(K)|D_K|^1/2. D´emonstration. Sia₁ est un id´eal dans la classe consid´er´ee, si αest un ´el´ement non nul de Z_K tel que l’id´eal a2 =αa⁻₁¹ soit entier, en appliquant le th´eor`eme 3.40 `a a2 on trouve un ´el´ement β∈a2 v´erifiant|NK:Q(β)| ≤M(K)|DK|^1/2N(a2). Alors a=βa⁻₂¹est ´equivalent `aa1et v´erifie la propri´et´e requise.

Th´eor`eme 3.56(Minkowski). Le groupeCl(K) des classes d’id´eaux deK est fini.

Le nombre d’´el´ements de Cl(K) est lenombre de classes du corpsK. On le noteh(K). Pour tout id´eal fractionnaireal’id´eala^h(K) est principal.

Par cons´equent l’anneauZK est principal si et seulement sih(K) = 1.

D´emonstration du th´eor`eme 3.56. La proposition 3.55 montre qu’il suffit de v´erifier qu’il n’y a qu’un nombre fini d’id´eaux entiers ayant une norme donn´ee. Soit donc N un entier non nul (seul l’id´eal nul a pour norme 0). Soit aun id´eal entier de normeN. Alors aest d’indiceN dans ZK

(lemme 3.38), doncaappartient `a l’ensemble fini des id´eaux deZK qui contiennentN.

Le th´eor`eme 3.40 donne une minoration du discriminant d’un corps de nombres : comme la norme de l’id´eal (1) =Z_K vaut 1 on a

|DK| ≥M(K)⁻². (3.57)

On en d´eduit|DK|>1 pourK�=Q, donc il n’y a pas d’extension deQautre queQqui ne soit pas ramifi´ee.

La minoration (3.57) montre aussi que |DK| tend vers l’infini quand le degr´en deK surQ tend vers l’infini. En voici une cons´equence :

Corollaire 3.58(Hermite). Il n’y a qu’un nombre fini de sous-corps deCde discriminant donn´e.