Montrer que le noyau de

Universit´e Paris 7 Denis Diderot L3 Math-Info (Alg`ebre et g´eom´etrie) 2009-2010

Contrˆole de connaissance du 17 novembre 2009

Dur´ee 2h30

Exercice 1

1) Pr´eciser les ideaux premiers et les id´eaux maximaux de ℤ.

2) Montrer que, pour tout anneau 𝐵, il existe un unique homomorphisme d’anneaux deℤvers𝐵.

3) Soient 𝐴 un anneau int`egre et 𝑓 : ℤ → 𝐴 l’unique homomorphisme d’anneaux.

Montrer que le noyau de𝑓 est un id´eal premier deℤ.

4) Soit 𝐴un anneau int`egre. Montrer que, ou bien l’ordre de 1 dans le groupe additif associ´e `a 𝐴est infini, ou bien il est un nombre premier.

5) Soit𝑝un nombre premier. Montrer que, pour tout𝑘∈ {1,⋅ ⋅ ⋅ , 𝑝−1}, on a𝑝∣(𝑝 𝑘

). Dans les questions suivantes, on fixe un anneau int`egre𝐴. Soit𝑝l’ordre de l’´el´ement 1 dans le groupe additif sous-jacent `a𝐴, qui est suppos´e ˆetrefini (donc est un nombre premier d’apr`es la question 4)).

6) Montrer que, si𝑥est un ´el´ement dans 𝐴, alors

𝑥+⋅ ⋅ ⋅+𝑥

| {z }

𝑝copies

= 0.

7) Montrer que, si𝑥et 𝑦 sont deux ´el´ements dans𝐴, alors (𝑥+𝑦)^𝑝=𝑥^𝑝+𝑦^𝑝. 8) En d´eduire que l’application𝐹 :𝐴→𝐴, qui envoie𝑥en𝑥^𝑝, est un homomorphisme

d’anneaux.

9) Montrer que, si le cardinal de𝐴est fini, alors𝐹 est un isomorphisme d’anneaux.

10) Donner un exemple d’anneau int`egre 𝐴 tel que l’homomorphisme 𝐹 : 𝐴 → 𝐴 ne soit pas un isomorphisme.

Exercice 2

Dans cet exercice, on ´etudie les ´equations de Pell de la form𝑥²−𝑑𝑦²= 1, o`u𝑑est un entiersans facteur carr´e.

1) R´esoudre l’´equation𝑥²−𝑑𝑦²= 1 (𝑥, 𝑦∈ℤ) dans le cas o`u 𝑑 <0.

2) R´esoudre l’´equation𝑥²−𝑦²= 1 (𝑥, 𝑦∈ℤ).

Dans les questions suivantes, on suppose 𝑑 >1. Soit𝐴=ℤ[√

𝑑] l’anneau quotient ℤ[𝑇]/(𝑇²−𝑑).

TSVP

3) Montrer que l’homomorphism d’anneaux deℤ[𝑇] versℝqui envoie𝑇 en√

𝑑a pour noyau (𝑇²−𝑑). En d´eduire que 𝐴est isomorphe `a un sous-anneau de ℝet que𝐴 est un anneau int`egre.

4) Montrer que le groupe additive sous-jacent `a𝐴est un groupe ab´elien libre engendr´e par 1 et√

𝑑.

5) Montrer que (𝑥, 𝑦)∈ℤ²est une solution de l’´equation𝑥²−𝑑𝑦²=±1 si et seulement si𝑥+𝑦√

𝑑∈𝐴^×.

6) D´eterminer les ´el´ements de torsion dans le groupe𝐴^×.

7) Montrer que l’application𝜑:𝐴^×→(ℝ,+) qui envoie𝛼en log∣𝛼∣est un morphisme de groupe. D´eterminer son noyau.

8) Montrer que l’image de 𝜑est un sous-groupe discret de (ℝ,+). En d´eduire que le groupe𝐴^× est isomorphe `a ℤ×(ℤ/2ℤ).

9) Montrer que l’ensemble des solutions de l’´equation 𝑥²−𝑑𝑦²= 1 dansℤ², muni de certaine loi de composition convenable, forme un groupe ab´elien qui est isomorphe

`

aℤ×(ℤ/2ℤ).

10) Application : D´eterminer les solutions dans ℤ²de l’´equation𝑥²−3𝑦²= 1.

11*) Que peut-on dire sur l’ensemble des solutions (dansℤ²) de l’´equation𝑥²−𝑑𝑦²=−1 ?