mon adresse si vous avez des questions : bozectristan@orange.fr Corrigé feuille 1, exo 4, questions 4,5,6.
4.4- Déjà pourM matrice carrée etD diagonale :
M D=DM ⇔ ∀i, j,
n
X
k=1
Mi,kDk,j =
n
X
k=1
Di,kMk,j (1)
⇔ ∀i, j, Mi,jDj,j =Di,iMi,j (carD diagonale) (2) L’espace des matrices diagonales étant engendré par les matrices El,l ayant un seul coefficient non nul égal à 1 en position(l, l)(pour1≤l≤n), on a :
AD=DApour touteDdiagonale⇔ ∀l, AEl,l=El,lA
⇔ ∀l, ∀i6=l, Ai,l= 0 ((2)avecM =A etD=El,l)
⇔Adiagonale.
4.5- Déjà si A est multiple de l’identité,A commute bien avec toutes les matrices carrées. Réciproquement, si A commute avec toutes les matrices carrées, A commute en particulier avec les matrices diagonales, et donc est diagonale d’après la question précédente. L’espace des matrices étant engendré par les matricesEi,j ayant un seul coefficient non nul égal à1 en position(i, j)(pour 1≤i, j≤n), on a :
AB=BApour toute matrice B⇔ ∀i, j, AEi,j=Ei,jA
⇔ ∀i, j, Aj,j =Ai,i ((2)avecM =Ei,j etD=A)
⇔Amultiple de l’identité.
4.6- On a :
BA=AB⇔ ∀i, j, Bi,jAj,j =Ai,iBi,j ((2)avecM =B,D=A)
⇔ ∀i6=j, Bi,j= 0 (carAj,j 6=Ai,i sii6=j)
⇔B diagonale.
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