Partie II. Valeurs propres complexes.

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Les deux problèmes sont indépendants mais présentent certaines analogies.

Problème 1.

Soit p ∈ N xé, p ≥ 2. On note F = C^p et (e1,· · · , ep) la base canonique du C-espace vectorielF :

e1= (1,0,· · ·,0), e2= (0,1,0,· · · ,0), · · ·, ep= (0,· · · ,0,1).

On noteu= (1,1,· · ·,1) =e₁+· · ·+e_p et on dénitQ⁺⊂R^p⊂F par :

∀x= (x1,· · · , xp)∈R^p, x∈ Q⁺ ⇔(∀i∈J1, pK, xi>0).

On considère un endomorphismef ∈ L(F)déni par











f(e₁) = (a₁₁, a₁₂,· · ·, a_1p)∈ Q⁺ f(e₂) = (a₂₁, a₂₂,· · ·, a_2p)∈ Q⁺

...

f(ep) = (ap1, ap2,· · · , app)∈ Q⁺

et vériantf(u) =u.

Un tel endomorphisme est dit stochastique. L'objet de ce problème est d'introduire au théorème de Perron-Frobenius qui porte sur les suites de puissances de ces endomorphismes.

Partie I. Boîte à outils.

1. Propriétés def.

a. Soitz= (z1,· · · , zp)∈F. Préciser lep-upletf(z)∈C^p. b. Montrer que∀(i, j)∈J1, pK

2, aij >0 et que

∀j∈J1, pK, a_1j+a_2j+· · ·+a_pj = 1.

2. Soitλ∈ Cavec|λ| <1 et k∈ J0, p−1K xé. La suite complexe ⁿ_k λⁿ

n≥p est-elle convergente ? Quelle est sa limite ?

3. Ici, aucun raisonnement par l'absurde ou par contraposition ne sera lu.

Soitλ₁,· · ·, λ_p des réels strictement positifs tels que λ₁+· · ·+λ_p= 1.

a. Soitµ1,· · ·, µp réels. Montrer que

(∀i∈J1, pK, µi≥0)⇒ max(µ1,· · · , µp) min(λ1,· · · , λp)≤λ1µ1+· · ·+λpµp. En déduire

∀i∈J1, pK, µ_i≥0 λ1µ1+· · ·+λpµp= 0

)

⇒µ1=· · ·=µp= 0.

Déduire de la question précédente que

∀i∈J1, pK, µi≤1 λ1µ1+· · ·+λpµp= 1

)

⇒µ₁=· · ·=µ_p= 1.

b. Soitu1,· · · , up complexes. Montrer que

∀i∈J1, pK, |ui| ≤1 λ1u1+· · ·+λpup= 1

)

⇒u1=· · ·=up= 1.

Partie II. Valeurs propres complexes.

On dénit la notion de vecteur propre et de valeur propre def.

Un nombre complexeλest une valeur propre si et seulement si il existew∈F tel que w6= 0E etf(w) =λw.

On dit alors quewest un vecteur propre de valeur propreλ. On dénit des partiesN etBdeC^p=F par :

∀w= (z1,· · · , zp)∈F,

(w∈ N ⇔max(|z1|,· · ·,|zp|) = 1.

w∈ B ⇔max(|z1|,· · ·,|zp|)≤1.

1. Dans le casp= 2. En identiantR² au plan usuel, dessinerN ∩R² etB ∩R². 2. Montrer que1est une valeur propre. On noteS l'ensemble des valeurs propres.

3. On veut montrer que le module d'une valeur propre est inférieur ou égal à1.

a. Soitwun vecteur propre de valeur propre λ. Montrer que pour, toutµ non nul dansC, le vecteur µwest encore propre. Quelle est sa valeur propre ?

b. Montrer queBest stable parf, c'est à dire que :∀w∈F, w∈ B ⇒f(w)∈ B. c. Soitwun vecteur non nul. Comment choisirµ >0 pour queµw∈ N?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1307E

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d. Conclure.

4. Soitλune valeur propre de module1.

a. Montrer qu'il existe un vecteur proprew= (z₁,· · ·, z_p)∈ N de valeur propreλ. b. En faisant jouer un rôle spécique à un indice particulier j tel que |zj| = 1,

montrer que tous leszi sont égaux entre eux et queλ= 1. c. Montrer queker(f−IdF) = Vect(u).

Partie III. Hyperplan supplémentaire stable.

1. Soitg∈ L(F).

a. Montrer¹ quedim(kerg)≤dim(kerg²)≤2 dim(kerg).

b. Montrer queImg⊕kerg=F ⇔Img= Img²⇔kerg= kerg². 2. Montrer que sidim ker(f−IdF)²

≥2, il existev∈ Btel que f(v)6=v et

∀n∈N, fⁿ(v) =v+n(f(v)−v).

En déduireker(f −IdF)²= ker(f −IdF).

3. Montrer queIm(f −IdF)est un hyperplan supplémentaire deVect(u). On le noteH. Montrer queH est stable parf.

4. a. Soitϕ et ψ deux formes linéaires non nulles sur F et de même noyau. Montrer qu'il existe un réelλtel queψ=λϕ.

b. Montrer qu'il existe une forme linéaire γ telle que H = kerγ avec γ(u) = 1. Montrer queγ◦f =γ.

c. Soitv∈F. Quelle est la projection de vsurVect(u)parallèlement àH?

Partie IV. Convergence.

Pour v ∈ F, on considère la suite de vecteurs (fⁿ(v))_n∈

N. L'objet de cette partie est d'établir une propriété de cette suite en notant

fⁿ(v) = v_n¹, v_n²,· · · , v_n^p .

Il faut bien garder à l'esprit que dans la notation v^k_n, l'exposantk ne représente pas une puissance mais un numéro de coordonnée.

1La partie droite de cet encadrement ne servira pas dans le reste du problème.

1. Soitλ6= 1 une valeur propre etv∈ker(f−λIdF)^p. Montrer que, pour toutk∈J1, pK, la suite complexe v^k_n

n∈Nconverge vers0. 2. Soitλune valeur propre telle queker(f−λIdF)^p⊂H. Montrer que|λ|<1. 3. On admet² qu'il existe un ensemble de valeurs propres{λ1,· · ·, λr} tel que

H = ker(f−λ₁Id_F)^p+· · ·+ ker(f−λ_rId_F)^p Montrer que, pour toutv∈F et toutk∈J1, pK, la suite v^k_n

n∈N converge versγ(v).

Problème 2.

On note C = C⁰([0,+∞[,C). On dira qu'une fonction f ∈ C est strictement positive lorsquef(t)∈Ret f(t)>0 pour tous lest∈[0,+∞[. On noteu∈ Cla fonction constante de valeur1. Pour toute fonctionf ∈ C on dénit une fonction (notéeT(f))

T(f) :











[0,+∞[→C x7→







f(0) six= 0

1 x

Z x 0

f(t)dt six6= 0

On notera simplementT(f)(x)la valeur enxde la fonctionT(f). Pour tout réelcstricte- ment positif, on dénit une fonctionN_c par

∀f ∈ C, Nc(f) = max

[0,c] |f|.

1. a. Soitf ∈ C, montrer queT(f)∈ C et queT dénit un endomorphisme³ deC. b. Montrer queT(u) =uet que l'ensemble des fonctions strictement positives deC

est stable parT. On dira queT est stochastique.

c. Montrer que T(f) est dérivable dans l'ouvert ]0,+∞[. Pour x > 0, préciser x(T(f))⁰(x)en fonction def(x)et deT(f)(x).

d. Montrer queT est injective mais pas surjective.

2. Soitf ∈ C à valeurs réelles et a,b deux réels tels que0< a < b. Dans cette question seulement, on noteraf =T(f)etF la primitive def nulle en0.

2c'est une conséquence simple d'un théorème du cours de deuxième année.

3Dans un contexte d'analyse comme ici, on utilisera plutôt le mot opérateur que le mot endomorphisme.

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a. Montrer à l'aide d'une intégration par parties faisant intervenirf f= (xf)⁰f que Z b

a

f²(t)dt≤ F²(a) a + 2

Z b a

f(t)f(t)dt.

b. En utilisantF²(a) =a²f²(a), montrer que Z b

0

f²(t)dt≤4 Z b

0

f²(t)dt.

3. Soitc >0xé.

a. Justier la dénition deNc. Montrer que

∀f ∈ C, Nc(T(f))≤Nc(f).

b. Soit0< x < y≤c. Montrer que

∀f ∈ C, |T(f)(y)−T(f)(x)| ≤ 2Nc(f)

y (y−x).

c. Soit0< x, montrer que|T(f)(x)−T(f)(0)| ≤max_[0,x]|f−f(0)|. 4. Étude des valeurs propres.

Une valeur propre deT est un nombre complexe λ pour lequel il existe une fonction v∈ Cnon identiquement nulle telle queT(v) =λv. L'ensemble des valeurs propres est appelé le spectre de l'opérateur.

a. Pour tout nombre complexeµ, on dénit la fonctionpµdans l'ouvert]0,+∞[par pµ(x) =x^µ. Pour quelsµ la fonctionpµ se prolonge-t-elle à une fonction de C? Calculer alorsT(pµ).

b. En utilisant la question3a, montrer que le module d'une valeur propre est inférieur ou égal à1.

c. En formant une équation diérentielle, déterminer le spectre deT. Bien vérier qu'il est inclus dans le disque unité. Quelles sont les fonctionsv ∈ C telles que T(v) =v?

5. On considère ici une fonction f ∈ C croissante. On note fn =Tⁿ(f) et xn =fn(x) pourx≥0. On étudie la suite(xn)_n∈N.

a. Soitx≥0, montrer queT(f)(x)≤f(x)et queT(f)est croissante.

b. Montrer que, pour toutx≥0, la suite(xn)_n∈

N converge. On notel(x)sa limite ce qui dénit une fonctionldans[0,+∞[.

c. Montrer quel est continue. On admet queT(l) =l, en déduire la fonctionl.