Partie III. Valeurs propres complexes.

MPSI B Année 2017-2018. DS 7 le 16/03/18 29 juin 2019

Exercice

Soit(a₁, a₂, a₃, a₄)une base d'un Respace vectoriel E. Les fonctions coordonnées dans cette base sont notées(α₁, α₂, α₃, α₄).

On dénit une famille(u1, u2, u3)de vecteurs deE par : u1=a1+a2+a3+ 2a4

u₂= 3a₁+ 5a₃+a₄

u3=−a1+ 2a2−3a3+ 3a4

1. Soitx=x1a1+x2a2+x3a3+x4a4∈E. Déterminer des conditions sur(x1, x2, x3, x4) assurant quex∈Vect(u₁, u₂, u₃).

2. Déterminer une famille libre (α, β)de formes linéaires (exprimées en fonction des α_i) telles que

Vect(u1, u2, u3) = kerα∩kerβ.

Problème

L'objet de ce problème est de présenter quelques résultats liés au théorème de Perron- Frobenius.

On désigne parE leR-espace vectorielR^p (avecp≥2 xé). On note(e1,· · · , ep) la base canonique deE

e1= (1,0,· · ·,0), e2= (0,1,0,· · ·,0), · · ·, ep= (0,· · · ,0,1) etu= (1,1,· · ·,1) =e1+· · ·+ep.

On dénit des partiesQ,Q⁺,N et BdeE.

Q={(x₁,· · ·, x_p)∈Etq∀i∈J1, pK, x_i≥0}

Q⁺={(x₁,· · ·, x_p)∈Etq∀i∈J1, pK, x_i>0}

N ={(x1,· · ·, xp)∈ Qtq max(x1,· · · , xp) = 1}

B={(x1,· · ·, xp)∈Etq max(|x1|,· · · ,|xp|)≤1}.

On dira que les vecteurs deQsont positifs et que ceux deQ⁺sont strictement positifs. On se donne un endomorphismef ∈ L(E)tel que

f(u) =uet ∀i∈J1, pK, f(e_i)∈ Q⁺.

Un tel endomorphismef est dit stochastique. Les images (positives) des vecteurs de la base canonique sont notées de la manière suivante :

f(e₁) = (a₁₁, a₁₂,· · ·, a_1p) f(e2) = (a21, a22,· · ·, a2p)

...

f(ep) = (ap1, ap2,· · ·, app)

Partie I. Positivité.

1. Soitλun nombre complexe de module strictement plus petit que1 etkentier entre0 etp−1 xé. La suite de nombres complexes ⁿ_k

λⁿ

n≥p est-elle convergente ? Quelle est sa limite ?

2. Soitλ₁,· · ·, λ_p des réels strictement positifs tels que λ₁+· · ·+λ_p= 1. a. Soitµ₁,· · ·, µ_p réels. Montrer que

(∀i∈J1, pK, µ_i≥0 etλ₁µ₁+· · ·+λ_pµ_p= 0)⇒µ₁=· · ·=µ_p= 0 (∀i∈J1, pK, µi≤1 etλ1µ1+· · ·+λpµp= 1)⇒µ1=· · ·=µp= 1.

b. Soitu₁,· · · , u_p des nombres complexes de module 1. Montrer que λ1u1+· · ·+λpup= 1⇒u1=· · ·=up= 1.

3. Comment les propriétés def se traduisent-elles sur lesaij? 4. Montrer queBest stable parf.

5. a. Siv∈ N, que dire deu−v?

b. Soitv∈ N tel quef(v) =v. Montrer quev=u. c. Montrer que ker(f −IdE) = Vect(u).

Partie II. Hyperplan supplémentaire stable.

1. Soitg∈ L(E).

a. Montrer¹ quedim(kerg)≤dim(kerg²)≤2 dim(kerg).

1La partie droite de cet encadrement ne servira pas dans le reste du problème.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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b. Montrer queImg⊕kerg=E⇔Img= Img²⇔kerg= kerg². 2. Montrer que sidim ker(f−IdE)²

≥2, il existev∈ Btel que f(v)6=v et

∀n∈N, fⁿ(v) =v+n(f(v)−v)

3. Montrer queIm(f −IdE)est un hyperplan supplémentaire deVect(u). On le noteH. Montrer queH est stable parf.

4. a. Soitϕ et ψ deux formes linéaires non nulles sur E et de même noyau. Montrer qu'il existe un réelλtel queψ=λϕ.

b. Montrer qu'il existe une forme linéaire γ telle que H = kerγ avec γ(u) = 1. Montrer queγ◦f =γ.

Partie III. Valeurs propres complexes.

Dans cette partie, on étendf en une fonctionΦdénie surF =C^pen posant :

∀(z1,· · ·, zp)∈C^p, Φ((z1,· · ·, zp)) =z1f(e1) +· · ·+zpf(ep)

La fonction Φest un endomorphisme du C-espace vectorielF =C^p. On ne demande pas de le vérier.

On dénit des sous-ensembles deF =C^p analogues àN et Bà partir des modules au lieu des valeurs absolues.

N⁰ ={(z1,· · ·, zp)∈F tq max(|z1|,· · ·,|zp|) = 1}

B⁰ ={(z1,· · ·, z_p)∈F tq max(|z1|,· · ·,|zp|)≤1}.

Dans cette partie,λdésigne une valeur propre deΦc'est à dire un nombre complexe pour lequel il existe un vecteur propre w∈F non nul tel queΦ(w) =λw.

1. Montrer qu'il existe un vecteurw₁∈ N⁰ tel queΦ(w₁) =λw₁. Dans toute la suite de cette partie, on supposera quew∈ N⁰. 2. Montrer queB⁰ est stable par Φ. En déduire|λ| ≤1.

3. On notew= (z1,· · · , zp)et on supposeλde module1. a. Montrer que tous leszi sont de module1.

b. Montrer que λ = 1 et que tous les zi sont égaux entre eux. En déduire que ker(Φ−IdE)est la droite vectorielle complexe engendrée paru.

4. Que peut-on conclure quant aux valeurs propres deΦ?

Partie IV. Convergence.

Pour un vecteur v deF, on considère la suite de vecteurs (Φⁿ(v))_n∈

N. L'objet de cette partie est d'établir une propriété de cette suite.

On note :

Φⁿ(v) = v¹_n, v²_n,· · · , v^p_n

Il faut bien garder à l'esprit que dans la notation v_n^k, l'exposantk ne représente pas une puissance mais un numéro de coordonnée.

La forme linéaireγsur leR-espace vectorielE=R^pa été dénie dans la partie II (question 4.b.). On note :

g1=γ(e1), g2=γ(e2), · · · , gp =γ(ep)

Ces réels permettent de dénir une forme linéaireΓsur leC-espace vectoriel F =C^p :

∀(z1,· · ·, z_p)∈F, Γ((z₁,· · · , z_p)) =g₁z₁+· · ·+g_pz_p. On noteH⁰= ker Γ.

1. Montrer queH⁰est un supplémentaire de la droite vectorielle complexe engendrée par u. Montrer queΓ◦Φ = Γ, en déduire queH⁰ est stable parΦ.

2. Soitλ6= 1une valeur propre etv∈ker(Φ−λId_E)^p. Montrer que, pour tout entier k entre1etp, la suite de nombres complexes v_n^k

n∈N converge vers0.

3. Soitλune valeur propre telle queker(Φ−λIdE)^p⊂H⁰. Montrer queλ6= 1. 4. On admet² qu'il existe un ensemble de valeurs propres{λ1,· · ·, λr} tel que

H⁰= ker(Φ−λ1IdF)^p+· · ·+ ker(Φ−λrIdF)^p Montrer que, pour toutv∈F et toutk∈J1, pK, la suite v^k_n

n∈N converge versΓ(v).

2c'est une conséquence simple d'un théorème du cours de deuxième année.

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