MPSI B Année 2018-2019. DM 13 pour le 29/03/19 29 juin 2019
Problème
On note C = C
0([0, +∞[, C ) . On dira qu'une fonction f ∈ C est strictement positive lorsque f (t) ∈ R et f (t) > 0 pour tous les t ∈ [0, +∞[ . On note u ∈ C la fonction constante de valeur 1 . Pour toute fonction f ∈ C on dénit une fonction (notée T (f ) )
T (f ) :
[0, +∞[ → C x 7→
f (0) si x = 0
1 x
Z x
0f (t) dt si x 6= 0
On notera simplement T (f )(x) la valeur en x de la fonction T (f ) . Pour tout réel c stricte- ment positif, on dénit une fonction N c par
∀f ∈ C, N c (f ) = max
[0,c]
|f |.
1. a. Soit f ∈ C , montrer que T (f ) ∈ C et que T dénit un endomorphisme
1de C . b. Montrer que T (u) = u et que l'ensemble des fonctions strictement positives de C
est stable par T . On dira que T est stochastique.
c. Montrer que T (f ) est dérivable dans l'ouvert ]0, +∞[ . Pour x > 0 , préciser x(T (f ))
0(x) en fonction de f (x) et de T(f )(x) .
d. Montrer que T est injective mais pas surjective.
2. Soit f ∈ C à valeurs réelles et a , b deux réels tels que 0 < a < b . Dans cette question seulement, on notera f = T(f ) et F la primitive de f nulle en 0 .
a. Montrer à l'aide d'une intégration par parties faisant intervenir f f = (xf)
0f que
Z b a
f
2(t) dt ≤ F
2(a) a + 2
Z b a
f (t) f (t) dt.
b. En utilisant F
2(a) = a
2f
2(a) , montrer que
Z b
0f
2(t) dt ≤ 4 Z b
0
f
2(t) dt.
3. Soit c > 0 xé.
1
Dans un contexte d'analyse comme ici, on utilisera plutôt le mot opérateur que le mot endomorphisme.
a. Justier la dénition de N c . Montrer que
∀f ∈ C, N c (T (f )) ≤ N c (f ).
b. Soit 0 < x < y ≤ c . Montrer que
∀f ∈ C, |T (f)(y) − T (f )(x)| ≤ 2N c (f )
y (y − x).
c. Soit 0 < x , montrer que |T (f )(x) − T (f )(0)| ≤ max
[0,x]|f − f (0)| . 4. Étude des valeurs propres.
Une valeur propre de T est un nombre complexe λ pour lequel il existe une fonction v ∈ C non identiquement nulle telle que T (v) = λv . L'ensemble des valeurs propres est appelé le spectre de l'opérateur.
a. Pour tout nombre complexe µ , on dénit la fonction p µ dans l'ouvert ]0, +∞[ par p µ (x) = x µ . Pour quels µ la fonction p µ se prolonge-t-elle à une fonction de C ? Calculer alors T (p µ ) .
b. En utilisant la question 3a, montrer que le module d'une valeur propre est inférieur ou égal à 1 .
c. En formant une équation diérentielle, déterminer le spectre de T . Bien vérier qu'il est inclus dans le disque unité. Quelles sont les fonctions v ∈ C telles que T(v) = v ?
5. On considère ici une fonction f ∈ C croissante. On note f n = T n (f ) et x n = f n (x) pour x ≥ 0 . On étudie la suite (x n ) n∈
N
.
a. Soit x ≥ 0 , montrer que T (f )(x) ≤ f (x) et que T (f ) est croissante.
b. Montrer que, pour tout x ≥ 0 , la suite (x n ) n∈N converge. On note l(x) sa limite ce qui dénit une fonction l dans [0, +∞[ .
c. Montrer que l est continue. On admet que T (l) = l , en déduire la fonction l .
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