Universit´e Paris Diderot Calcul int´egral
Licence de Math´ematiques 2016-2017
P. Fima, L. Merel, A. Zuk
Examen de dattrapage , 21 juin 2017 Dur´ee 3 heures
Document autoris´e : une feuille manuscrite
1. Pour t≥0, on pose
I(t) = Z
[1,+∞[×R
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x2y2+x2+tdxdy.
CalculerI(t) `a l’aide du changement de variables x=√
v2−t,y= √uv
v2−t. 2. Pour f, g deux fonctions deRdansR on note
D:={x∈R : Z
R
|f(x−t)g(t)|dλ(t)<∞},
o`u λest la mesure de Lebesgue surR. On notef ∗gla fonction D →R d´efinie par (f ∗g)(x) =
Z
R
f(x−t)g(t)dλ(t) ∀x∈ D.
(a) On suppose quef est born´ee etg est int´egrable.
i. Montrer que D=R.
ii. Montrer que sif est continue alors f∗g est continue.
iii. Montrer que sif est C1 alors f∗g estC1 et (f∗g)0 =f0∗g.
(b) On suppose f etg int´egrables.
i. Montrer que f∗g est d´efinie presque partout (indication : Fubini).
ii. Montrer que pour presque tout x∈Ron a (f∗g)(x) = (g∗f)(x).
3. Soit f : R → R une application mesurable et Gr(f) := {(x, f(x)) : x ∈ R} ⊂ R2 le graphe de l’applicationf.
(a) Le but de cette question est de montrer queGr(f) est mesurable.
i. Montrer que l’applicationR2 →R, (x, y)7→y−xest mesurable.
ii. Montrer que l’applicationR2 →R2, (x, y)7→(f(x), y) est mesurable.
iii. Conclure.
(b) Le but de cette question est de montrer que λ2(Gr(f)) = 0, o`u λ2 est la mesure de Lebesgue surR2.
i. SoitN ∈N. Calculer, `a l’aide du Th´eor`eme de Fubini, l’int´egraleR
1[−N,N]2∩Gr(f)dλ2. ii. Conclure.
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