2 D´ efinition d’une variable al´ eatoire (rappels)

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre XVI

Variables al´ eatoires ` a densit´ e

Table des mati` eres

1 Introduction 2

2 D´efinition d’une variable al´eatoire (rappels) 2

3 La fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire (rappels) 2

4 Variables aléatoires à densité 5

5 Fonction de répartition et critère pour qu’une variable aléatoire soit à densité 7 6 Espérance et variance d’une variable aléatoire à densité 8

7 Lois usuelles 9

7.1 Loi uniforme sur [a, b] . . . 9 7.2 Loi exponentielle de paramètreλ >0 . . . 9 7.3 Loi normale centrée réduite . . . 10

(2)

1 Introduction

On a vu pour le moment deux types de variables al´eatoires.

1. Les variables al´eatoires finiesX, i.e. telles queX(Ω) est un sous-ensemble fini deN

Exemple 1 :On jette un dé équilibré à 4 faces numérotées de 1 à 4 et on noteX le chiffre obtenu. Alors X(Ω) ={1,2,3,4}. Comme chaque face a la même probabilité d’apparaˆıtre, on aX ∼ U({1,2,3,4}). On a donc :

∀k∈ {1,2,3,4}, P([X =k]) = 1 4. De plus l’esp´erance et la variance deX sont donn´ees par :E(X) = 4 + 1

2 = 5

2 etV(X) =4²−1 12 = 5

4. 2. Les variables al´eatoires discr`etes infiniesX, i.e. telles queX(Ω) est un sous-ensemble infini deN

Exemple 2 : On considère une pièce, pour laquelle PILE apparaˆıt avec probabilité p ∈]0,1[, que l’on jette jusqu’à obtenir un premier PILE. On noteX le nombre de lancers effectués. AlorsX(Ω) =N^∗ et X ∼ G(p) (cf. exemple de référence de loi géométrique). On a donc :

∀k∈N^∗, P([X=k]) =pq^k−1.

De plus l’esp´erance et la variance deX existent et sont donn´ees par :E(X) =1

p et V(X) = q p².

Mais il existe des variables (ou nombres) aléatoires dont l’ensemble des valeurs n’est pas inclus dansN(i.e. qui ne prennent pas nécessairement des valeurs entières), comme dans l’exemple suivant.

Exemple 3 :On allume une ampoule et on note X sa durée de vie (mesurée en jours), i.e. le temps au bout duquel l’ampoule grille. Dans ce cas,X(Ω) = [0,+∞[, i.e.X peut prendre n’importe quelle valeur réelle positive.

Dans ce chapitre, on se propre d’´etudier des variables al´eatoiresX comme celle introduite dans l’exemple 3.

2 D´ efinition d’une variable al´ eatoire (rappels)

Définition (variable aléatoire) : Une variable aléatoireX sur un espace de probabilités (Ω,T, P) est une application :

X: Ω→R telle que pour tout intervalleI deR:

[X ∈I] :={ω∈Ω : X(ω)∈I} est un ´ev´enement i.e. [X ∈I]∈ T.

Exemple 4 :SiX: Ω→Rest une variable al´eatoire sur un espace de probabilit´es (Ω,T, P), alors : [X∈[0,10]] = [0≤X≤10]

est un événement et on peut donc considérer la probabilitéP(0 ≤X ≤10). On peut de même considérer les probabilitésP(X ≤10) =P(X∈]− ∞,10]) ouP(X >2) =P(X ∈]2,+∞[).

3 La fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire (rappels)

Définition (fonction de répartition d’une variable aléatoire) : Soit X une variable aléatoire sur un espace de probabilités (Ω,T, P). La fonction de répartition deX est la fonctionFX définie par :

FX: R → [0,1]

x 7→ P([X ≤x]).

(3)

Exemple 1 (suite) :Dans le cas oùX est égale au résultat du lancer d’un dé équilibré à 4 faces numérotées de 1 à 4, la fonction de répartition de X est donnée par :

FX:R → [0,1]

x 7→











0 si x <1 P(X= 1) = 1

4 si 1≤x <2 P(X= 1) +P(X = 2) = 1

2 si 2≤x <3 P(X= 1) +P(X = 2) +P(X= 3) = 3

4 si 3≤x <4

P(X= 1) +P(X = 2) +P(X= 3) +P(X = 4) = 1 six≥4.

La courbe représentative deFX dans un repère du plan est donnée ci-dessous.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

−0.2

−0.4

1 2 3 4 5 6

−1

−2

[ [

b b b b

Exemple 2 (suite) : Dans le cas oùX est le nombre de lancers nécessaires pour avoir un premier PILE lors d’une succession de lancers de pièce, avec une pièce équilibrée (i.e. dans le cas oùp= 1

2 avec les notations de l’exemple 2), la courbe représentative deFX dans un repère du plan est donnée ci-dessous.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

−0.1

1 2 3 4 5

−1

−2

[ [

[

b b b b b

(4)

Théorème 1 (propriétés de la fonction de répartition d’une variable aléatoire)

Soit X une variable aléatoire sur un espace de probabilités (Ω,T, P) et soit FX: R → [0,1] sa fonction de répartition.

1. La fonctionFX est croissante surR.

2. En tout pointx0deR,FX est continue `a droite et admet une limite (finie) `a gauche.

3. On a FX(x)_x_→−∞→ 0 etFX(x)_x_→+∞→ 1.

♥ Remarque fondamentale (la fonction de r´epartition FX caract´erise la loi de X)

Soit X une variable aléatoire sur un espace de probabilités (Ω,T, P) et soit FX: R → [0,1] sa fonction de répartition.

1. Si l’on connaˆıt les probabilités P(X ∈I) pour tout intervalle I de R(ces données forment la loi deX), alors on connaˆıt la fonction de répartitionFX deX. En effet :

∀x∈R, FX(x) =P(X≤x) =P(X ∈]− ∞, x]).

2. Réciproquement, si l’on connaˆıt la fonction de répartitionFX deX, alors on connaˆıt la loi deX, i.e. les probabilitésP(X ∈I) pour tout intervalleI deR. Par exemple, on a :

P(X∈]3,+∞[) =P(X >3) = 1−P(X ≤3) = 1−FX(3)

P(X∈]2,4]) =P(2< X≤4) =P(X ≤4)−P(X ≤2) =FX(4)−FX(2).

Exemple 3 (suite) :On peut modéliser la durée de vie de l’ampoule par exemple, par une variable aléatoire aléatoireX sur un espace de probabilités telle que :

FX:R → [0,1]

x 7→







0 six <0

1−e^−5x six≥0.

La probabilit´e que l’ampoule grille entre le moment o`u on l’allume (instant 0) et le premier jour (instant 1) est : P(0< X ≤1) =FX(1)−FX(0) = 1−e⁻⁵.

La courbe représentative deFX dans un repère du plan est donnée ci-dessous.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

−0.1

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

(5)

4 Variables al´ eatoires ` a densit´ e

Définition (densité de probabilités) :Une densité de probabilités est une fonction f:R→Rtelle que : 1. f est positive ou nulle surR;

2. f est continue par morceaux surR; 3. l’intégrale généralisée

Z ^+∞

−∞

f(t)dtest convergente et vaut 1.

⋄ Exemple 5 :Soitf la fonction d´efinie par :

f: R → R

t 7→







0 sit <0 5e^−5tsit≥0.

Alorsf est une densit´e de probabilit´es.

Définition (variable aléatoire à densité) : Soit X une variable aléatoire sur un espace de probabilités (Ω,T, P).

1. On dit queX est à densité s’il existe une densité de probabilitésf vérifiant :

∀x∈R, FX(x) = Z x

−∞

f(t)dt.

Notons que la convergence de l’intégrale généralisée ci-dessus est impliquée par le fait quef est une densité de probabilités.

2. Si une telle fonctionf existe, elle est appel´ee une densit´e deX.

⋄ Exemples 3 et 5 (suite) :La variable aléatoireX introduite dans l’exemple 3 est à densité. Une densité de X est donnée par la fonctionf définie dans l’exemple 5.

♥ Théorème 2 (calcul de probabilités et variable aléatoire à densité) Soit X une variable aléatoire à densité sur un espace de probabilités (Ω,T, P). Soitf une densité deX.

1. Pour toutx∈R:

P(X ≤x) =P(X < x) =FX(x) = Z x

−∞

f(t)dt.

2. Pour toutx∈R:

P(X≥x) =P(X > x) = 1−FX(x) = Z ^+∞

x

f(t)dt.

3. Pour tousa, b∈Rtels que a < b, on a :

P(a≤X ≤b) =P(a < X ≤b) =P(a≤X < b) =P(a < X < b) =FX(b)−FX(a) = Z b

a

f(t)dt.

Interprétation graphique du théorème 2 :On considère une variable aléatoire aléatoireX sur un espace de probabilités (Ω,T, P) admettant pour densité la fonctionf dont la courbe dans un repère du plan est donnée ci-dessous.

0.1 0.2 0.3 0.4

−0.1

−0.2

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

(6)

1. La probabilit´eP(X ≤1) est Z 1

−∞

f(t)dt, i.e. est l’aire du domaine du plan gris´e ci-dessous.

0.1 0.2 0.3 0.4

−0.1

−0.2

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

2. La probabilit´eP(X >−1) est Z +∞

−1

0.1 0.2 0.3 0.4

−0.1

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

3. La probabilit´eP(1< X <2) est Z ²

1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.1

−0.2

−0.3

−0.4

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

−6

Corollaire :SoitX une variable aléatoire à densité sur un espace de probabilités (Ω,T, P). On a :

∀x∈R, P(X =x) = 0.

Géométriquement, cela correspond au fait que l’aire d’un domaine qui^≪n’a pas d’épaisseur^≫ est nulle.

♥ Remarque fondamentale (qu’est-ce qu’étudier la loi d’une variable aléatoire à densité ?)

Dans le cas d’une variable aléatoireX finie ou discrète infinie, on a souvent étudié les probabilitésP(X =x), oùx∈X(Ω).

Dans le cas oùX est une variable aléatoire à densité, toutes les probabilitésP(X=x) (x∈X(Ω)) sont nulles.

Il n’est donc pas pertinent de les consid´erer.

On s’int´eressera plutˆot dans cette nouvelle situation :

• à des probabilités du typeP(X ∈I), oùI est un intervalle deR;

• `a la fonction de r´epartition de X;

• `a une densit´e de X.

(7)

Théorème 3 (théorème d’existence) : Soit f une densité de probabilités. Alors il existe un espace de probabilités (Ω,T, P) et une variable aléatoireX: Ω→Rtelle que f est une densité de X. On a donc :

∀x∈R, FX(x) = Z x

−∞

f(t)dt.

⋄ Exemple 6 :Soitf la fonction d´efinie par : f:R → R

t 7→





 1

2 si −1≤t≤1 0 sinon

1. Montrer qu’il existe une variable al´eatoireX admettantf pour densit´e.

2. CalculerFX et donner des propri´et´es remarquables deFX.

5 Fonction de r´ epartition et crit` ere pour qu’une variable al´ eatoire soit ` a densit´ e

Théorème 4 (propriétés d’une fonction de répartition de variable aléatoire à densité) :SoitX une variable aléatoire à densité sur un espace de probabilités (Ω,T, P). Soitf une densité deX.

1. La fonction de r´epartitionFX deX est continue surR.

2. La fonctionFX est d´erivable en tout pointx0o`uf est continue.

3. Si x0 est un point o`uFX est d´erivable, alors on a :F_X^′ (x0) =f(x0).

Remarque 1 :La propriété 3 permet de donner une densité deX connaissant la fonction de répartitionFX, dans le cas où l’on sait que X est une variable aléatoire à densité.

⋄ Exemple 6 (suite) :On peut vérifier les conclusions du théorème précédent dans le contexte de l’exemple 6.

Théorème (critère pour qu’une variable aléatoire continue ait une densité) : Soit X une variable aléatoire sur un espace de probabilités (Ω,T, P) et soit FX sa fonction de répartition. On suppose que les conditions suivantes sont vérifiées.

(A) FX est continue surR.

(B) FX est de classeC¹surRsauf peut-être en un nombre fini de points{x1, . . . , xn}. Alors la variable aléatoireX est à densité et une densité deX est donnée par la fonctionf définie par :

f:R → R

x 7→







F_X^′ (x) six∈R\ {x1, . . . , xn} 0 si x∈ {x1, . . . , xn}.

⋄ Exemple 7 :SoitX une variable aléatoire dont la fonction de répartition est donnée par : FX:R → R

x 7→











0 si x <0 x

4 si 0≤x≤4 1 si x >4.

Montrer queX est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité deX.

(8)

6 Esp´ erance et variance d’une variable al´ eatoire ` a densit´ e

Notation :Dans cette partieX désigne une variable aléatoire à densité sur un espace de probabilité (Ω,T, P) etf une densité deX.

Définition (espérance d’une variable aléatoire à densité)

1. On dit queX admet une espérance mathématique si l’intégrale généralisée Z +∞

−∞

|t|f(t)dt converge.

2. SiX admet une espérance mathématique, alors l’intégrale généralisée Z ^+∞

−∞

t f(t)dtconverge et on définit l’espérance mathématiqueE(X) deX par :

E(X) = Z ^+∞

−∞

t f(t)dt.

L’espérance mathématique deX est aussi appelée valeur moyenne deX.

⋄ Exemple 7 (suite) :La variable aléatoireX introduite dans l’exemple 7 admet une espérance mathématique et on aE(X) = 2.

Définition (moment d’ordre pd’une variable aléatoire à densité) :Soitp∈N. 1. On dit queX admet un moment d’ordrepsi l’intégrale généralisée

Z ^+∞

−∞

|t|^pf(t)dt converge.

2. Si X admet un moment d’ordre p, alors l’intégrale généralisée Z +∞

−∞

t^pf(t) dt converge et on d´efinit le moment d’ordrepdeX par :

E(X^p) = Z ^+∞

−∞

t^pf(t)dt.

⋄ Exemple 7 (suite) :La variable al´eatoireX introduite dans l’exemple 7 admet un moment d’ordre 2 et on a E(X²) =16

3 .

Définition (variance et écart-type d’une variable aléatoire à densité) :On suppose queX admet une espérance mathématique.

1. On dit queX admet une variance si l’intégrale généralisée Z ^+∞

−∞

(t−E(X))²f(t)dt converge.

2. Si X admet une variance, alors on d´efinit : (a) la variance deX par :

V(X) = Z +∞

−∞

(t−E(X))²f(t)dt (nombre positif ou nul) (b) l’´ecart-type deX par :

σ(X) =p V(X).

(9)

Th´eor`eme 5 (Koenig-Huyghens) :On suppose queX admet un moment d’ordre 2.

1. AlorsX admet une esp´erance math´ematique et une variance.

2. De plus on a :

V(X) =E(X²)−m² o`u l’on a pos´em=E(X).

⋄ Exemple 7 (suite) :On a vu que la variable al´eatoireX introduite dans l’exemple 7 admet un moment d’ordre 2 et que l’on aE(X) = 2 et E(X²) = 16

3. En appliquant la formule de Koenig-Huyghens, on en d´eduit queX admet une variance et que :

V(X) = 16

3 −2²= 4 3.

7 Lois usuelles

Notation :Dans cette partieX désigne une variable aléatoire sur un espace de probabilité (Ω,T, P).

7.1 Loi uniforme sur [a, b]

D´efinition (loi uniforme sur [a, b]) :Soita, b∈Rtels quea < b.

On dit queX suit la loi uniforme sur [a, b] siX admet pour densit´e la fonctionf d´efinie par : f: R → R

t 7→





 1

b−a sia≤t≤b 0 sinon.

Dans ce cas, on noteX ∼ U([a, b]).

Théorème 6 (espérance et variance de X dans le cas oùX ∼ U([a, b]))

On suppose queX ∼ U([a, b]). AlorsX admet une esp´erance et une variance donn´ees par : E(X) = a+b

2 et V(X) =(b−a)² 12 .

⋄ Preuve du th´eor`eme 6

7.2 Loi exponentielle de param` etre λ > 0

D´efinition (loi exponentielle de param`etre λ >0) :Soitλ∈R^+∗.

On dit queX suit la loi exponentielle de paramètreλsiX admet pour densité la fonctionf définie par : f:R → R

t 7→







λe⁻^λtsit≥0 0 sinon.

Dans ce cas, on noteX ∼ E(λ).

Théorème 7 (espérance et variance de X, dans le cas oùX∼ E(λ))

On suppose queX ∼ E(λ). AlorsX admet une esp´erance et une variance donn´ees par : E(X) = 1

λ et V(X) = 1 λ².

⋄ Preuve du th´eor`eme 7

(10)

⋄ Exemples 3 et 5 (suite) :On a donc démontré dans l’exemple 5 que la variableX introduite dans l’exemple 3 suit la loi exponentielle de paramètre 5. Par suite, l’ampoule grillera en moyenne au bout de 1

5 jour, soit 4 heures et 48 minutes.

7.3 Loi normale centr´ ee r´ eduite

Rappel :On a déjà montré que l’intégrale

Z ^+∞

−∞

e⁻^t2² dt

est convergente (cf. cours sur l’intégrale généralisée) et on a admis que : Z ^+∞

−∞

e⁻^t2² dt=√ 2π.

On en d´eduit que la fonction

f:R → R t 7→ 1

√2π e⁻^t2² est une densit´e de probabilit´es.

Définition (loi normale centrée réduite) :On dit queX suit une loi normale centrée réduite (cf. ci-dessous pour la justification de la terminologie) siX admet pour densité la fonctionf définie par :

f:R → R t 7→ 1

√2π e⁻^t2². Dans ce cas, on noteX ∼ N(0,1).

Théorème 8 (espérance et variance de X ∼ N(0,1)) : On suppose queX ∼ N(0,1). AlorsX admet une espérance et une variance données par :

E(X) = 0 et V(X) = 1.

⋄ Preuve du th´eor`eme 8 :Cf. l’exercice 196 et la formule de Koenig-Huyghens.

Remarque 2 : On rappelle qu’une variable est dite centrée si elle a une espérance nulle et qu’elle est dite réduite si elle admet une variance égale à 1. Le théorème 8 explique le nom donné à la loiN(0,1).